انت هنا الان : شبكة جامعة بابل > موقع الكلية > نظام التعليم الالكتروني > مشاهدة المحاضرة

معادلات الحالة

Share |
الكلية كلية التربية للعلوم الصرفة     القسم قسم الفيزياء     المرحلة 3
أستاذ المادة شروق صباح عبد العباس المرشدي       22/03/2021 21:29:18
)معادلات الحالة(
1 - معادلات الحالة
ان حالة اي كيان تتعين تعينا تاما بمعرفة جميع الخواص التي يمتلكها الكيان في تلك الحالة ولكل
خاصية من تلك الخواص قيمة واحدة محددة في كل حالة وعليه يمكن تعريف الخاصية بآنها آي
كمية تعتمد على حالة الكيان فقط ولا تعتمد على ما ضي الكيان او طريقة وصوله الى تلك الحالة
آي ان قيم الخواص تعين حالة الكيان وبالعكس فان حاله الكيان تحدد قيم الخواص.
ليس من الضروري دائما قياس كل خواص الكيان لتحديد حالته بل هنالك حد أدني من عدد
الخواص التي يتحتم تعينها لتحديد حالة الكيان والعلاقة التي ترتبط الحد الادنى من عدد الخواص
الضرورية لتعين حالة الكيان تدعى بمعادلة الحالة.
خلال هذا الفصل يتم التركيز على المعادلات الحالة للمواد النقية لآنها تحتاج الى آقل عدد من
الخواص المستقلة لتعين حالتها بالمقارنة مع المواد الاخرى، وقد وجد انه بغياب التأثيرات
الكهربائية والمغناطيسية والجاذبية فان حالة اي مادة نقية يمكن تعينها تعينا تاما من خلال الخواص
المألوفة وهي الكتلة والضغط والحجم ودرجه الحرارة.
لقد تم استخراج عدد كبير من معادلات الحالة للغازات بعضها مبني على النظرية الحركية للغازات
والبعض الاخر مبين على اساس تجريبي صرف، ورغم ان هذه المعادلات تربط نفس المتغيرات
)الخواص( الا ان اشكالها والثوابت التي تتضمنها تختلف من واحدة لأخرى وكل هذه المعادلات
تعتبر معادلات تجريبيه لا نها تتضمن ثوابت يجب تعينها في المختبر.
وهناك اشكال عامه لمعادلات الحالة للغازات منها
??=??(??,?? )
او
V=F(P,T)
او
PV=F(P,T )
وهناك عده اشكال لمعادلة الحالة ولكن ابسطها على الاطلاق هي معادله الحالة للغاز المثالي.
أما المواد الاكثر تعقيدا من المواد النقية البسيطة فأنها تحتاج الى معادلات حالة اعقد تتضمن
خواص اخرى اضافية.
في هذا الفصل سيتم التركيز على معادلة الحالة للغازات التي تشكل من ربط العلاقة الرياضية
بين الخواص P, V, T .
2 -معادلةالحالة العامة للغازات
نفرض ان لدينا كيان غازي بسيط كتلته m وكمية الغاز التي يمكن قياسها بدلالة عدد المولات
n )المول هو كمية المادة التي لها كتله تساوي عدديا وزنها الجزئي( فمثلا لوكان الوزن الجزئي
للغاز M فان ) m=nM (، ولنفرض ان حجم الوعاء هو V ودرجه حرارة الوعاء ومحتوياته
هو T وضغط الغاز P فان هنالك علاقه خاصه تربط بين المتغيرات n ، m ، T ، V ، P وهذه العلاقة
يمكن التعبير عنها رياضيا بالدالة :
??(??,??,??,??) =0 (
1)
ومن الممكن استخدام عدد المولات ) n ( بدل الكتلة ( m ( فتصبح المعادلة
??(??,??,??,?? ) =0 (2)
ان اي من المعادلتين اعلاه تمثل معادلة الحالة للمادة ولكن المعادلة ) 2 ( أكثر شيوعا لأنها تضم
عدد المولات n واهمية ذلك تأتي من كون المول الواحد لأي عنصر في الطبيعة يحتوي على
نفس العدد من الجزيئات بينما نفس الكتلة m لا تحتوي على نفس العدد من الجزيئات.
ومن الممكن اختزال المعادلة ) 2 ( الى الشكل التالي :
F(P,v,T)=0 (3)
ان هذه المعادلة تكفي لوصف العلاقة الكمية بين الخواص التي تعين حالة الكيان البسيط كالغاز
مثلا ولكنها لا تكفي لوصف حالة الكيان المعقد الذي يحتاج الى خواص اخرى.
3 -معادلة الحالة للغاز المثالي
ان الغاز المثالي هو غاز افتراضي )نظري( أفترض وجوده لتسهيل درستنا في الثرموداينمك
وكذلك كتقريب بسيط لسلوك الغازات الحقيقية خاصة عندما تكون تحت ضغط واطئ.
من الممكن تكوين معادلة الحالة للغاز المثالي بطريقتين:
1 -الطريقة النظرية. 2 -الطريقه التجريبية.
الطريقة الأولى
تستند على التحليل الرياضي المعتمد على فرضيات النظرية العامة للغازات المثالية. وهذه
النظرية تفترض وجود نموذج من الغاز تتوفر له الشروط التالية:
1 -اي عينة من الغازات تحتوي على عدد كبير جدا من الجزيئات )عدد الجزيئات في الكيلو مول
)mole K ( تساوي عدد أفوكادرو) 266.03x10 جزيء( والحجم الذي يشغله هذا العدد من
الجزيئات تحت الشروط القياسية 22.4 لتر(.
2 -ان جزيئات الغاز تسلك سلوك جسيمات كروية مهمولة الحجم ومرنة تماما وفي حالة حركه
عشوائية مستمرة اي ان ابعاد الجزئي الواحد مهمولة بالمقارنة مع المسافات الفاصلة بين الجزيئات
وتصادم الجزيئات مع بعضها ومع جدران الوعاء يعتبر تصادما مرنا تاما.
3 -الجزيئات مستقلة تماما عن بعضها البعض وليس هناك اي شكل من أشكال التفاعل فيما بينها
اي ليس هنالك قوى متبادلة بين الجزيئات ماعدا تلك التي تحدث في اثناء التصادم المباشر وعليه
فان حركة الجزيئات في الفترات ما بين التصادمات تكون منتظمة وبخطوط مستقيمه.
4 -الحجم الذي تشغله الجزيئات يمكن اهماله تماما.
5 -متوسط الطاقة الحركية الانتقالية للجزيئات يمثل مقياس مباشر لدرجة حرارة الغاز.
6 -بغياب القوى الخارجية تنتشر جزيئات الغاز بانتظام في كل انحاء الفضاء الذي تشغله وتتحرك
بانتظام في كل الاتجاهات.
7 -زمن التصادم بين الجزيئات قليل بالمقارنة مع الفترة الزمنية الفاصلة بين التصادمات.
ان الغاز الذي يخضع لهذه الشروط يدعى بالغاز المثالي او الغاز الكامل ولكن للأغراض التحليلية
يكفي ان يتبع الغاز الشرطين الثالث والرابع لكي يدعى غازا مثاليا.
وهناك تعريف آخر للغاز المثالي وهو الغاز الذي يتبع القوانين التالية:
1 قانون بويل: ينص على ان حاصل ضرب ضغط كمية محددة من غاز في حجمها يجب ان
تكون كمية ثابتة في حالة التمدد او الانكماش بشرط ثبوت درجة الحرارة.
( T ثابتة( ، ثابتة PV=
2 قانون شارل او)كاي- لوساك(: ينص على انه عند ثبوت الضغط فان نسبة حجم كمية من الغاز
الى درجة حرارته المطلقة تبقى ثابتة في حالة التسخين او التبريد.
)ثابت p ( ، ثابت =
V??
3 -قانون دالتون: ينص على ما يلي يعتبر اي غاز فراغا بالنسبة لأي غاز اخر ممزوج معه .
فاذا وضعت عدة غازات مثالية لا يوجد تفاعل كيمياويا مع بعضها في وعاء واحد فان كلا منها
يتمدد في ذلك الوعاء بأكمله دون ان يتأثر بوجود الغازات الاخرى ويكون الضغط الكلي للمزيج
مساويا لمجموع الضغوط الجزئية للغازات المكونة له اي ان:
??=?????=??1+??2+??3
حيث ان p =الضغط الكلي للمزيج.
1p2,,p3p ......تمثل الضغوط الجزئية للغازات التي تتألف منها المزيج .
4 -قانون أفوكادرو: الحجوم المتساوية من الغازات المختلفة تحت نفس الظروف من درجة
الحرارة والضغط تحتوي على نفس العدد من الجزيئات.
5 - قانون جول: الطاقة الداخلة للغاز المثالي تعتمد فقط على درجة حرارة الغاز اي ان
U=F(T)
وسنرى لاحقا ان الغازات الحقيقية تحت شروط خاصة لا تنحرف كثيرا عن هذه القوانين، لغرض
اشتقاق معادلة الحالة للغاز المثالي سنعتمد على الفرضيات التي تحدد سلوك الغاز المثالي ولهذا
الغرض نحسب الضغط الذي يسلطه الغاز على جدران الوعاء الذي يحتويه حيث ان تصادم
الجزيئات مع جدران الوعاء ينتج عنه تغير في زخم الجزيئات وحسب قانون نيوتن الثاني في
الحركة فان معدل تغير الزحم لكل وحدة مساحة مسلطة على سطح الجدران يساوي القوة التي
يسلطها الغاز على وحدة المساحة وهذه تساوي الضغط حيث ان:
??=13??(????)???2 (4)
حيث ان m كتلة الجزيء الواحد والنسبة
????
تمثل عدد الجزيئات في وحدة الحجم و ???2 تمثل
متوسط مربع سرعة الجزيئات
المعادلة) 4( تصبح :
????= 13 ???????2
????= 23 ??(12?????2) (5)
حيث ان
12?????2 تمثل متوسط الطاقة الحركية للجزيء الواحد.
ومن الشرط الخامس نلاحظ ان متوسط الطاقة الحركية للجزيئات يتناسب طرديا مع درجة
الحرارة المطلقة للغاز
12?????2???
12?????2=??×?? (6)
حيث ان ) B ) مقدار الثابت يساوي 3/2K )النظرية الحركية للغازات( وان K يمثل ثابت بولتزمان
??=??/??°
R يمثل ثابت الغاز و ??° عدد افكادرو
12?????2=32??/??°?? (7)
وبتعويض ) 7 ( في ) 5 ( نحصل على
????=23??32????°??=????°???? (8)
حيث ان النسبة
????°
تمثل عدد المولات n وعليه تصبح المعادلة ) 8( كالاتي ) الصيغة الاولى(
????=??????
????=???? (9)
معادلة ) 9 ( تمثل الصيغة الثانية لمعادلة الحالة للغاز المثالي
حيث ان R=8317 جول لكل كيلو مول كلفن
اما الصيغة الثالثة لمعادلة الحالة للغاز المثالي فتكون
????=??????°??
????=????°????°???????=??????
3 -الطريقة التجريبية لاشتقاق معادلة الحالة للغاز المثالي:
نفرض ان لدينا مول واحد من غاز حقيقي تجري على هذا الغاز سلسلة من التجارب وفي كل
تجربة نحصل على مجموعة من القياسات لكل من الضغط و الحجم النوعي المولي تحت درجة
الحرارة ولتكن 1T وتجرى هذه القياسات على مديات واسعة لهذه المتغيرات وفي كل قياس
منفرد تحسب النسبة )(pv/T وترسم العلاقة البيانية بين قيمة هذه النسبة على محور الصادي
وقيمة الضغط p على المحور السيني فنحصل على المنحني 1T المبين في الشكل ) 1 )
الشكل ) 1 )
نعيد نفس الاجراءات تحت درجة الحرارة مختلفة ولتكن 2T ونرسم العلاقة البيانية فنحصل على
منحني ) 2T ( وبنفس الطريقة نحصل على المنحنيات )3),(T4),(T5(T ................
وقد لوحظ ان الغازات الحقيقية عند درجة حرارة الغرفة لا تعطي نفس المنحنيات تماما بل هناك
بعض الاختلافات في التفاصيل.
ففي حالة غاز الهيدروجين فان قيمة (pvT) تزداد تدريجيا بازدياد الضغط اما في حالة غاز 2co
فان (??????) تقل اولا بازدياد الضغط ثم تزداد قيمتها بعد ذلك بزيادة الضغط كما في شكل ) 2 .)
غاز
المثالي
(??????)
T1
T2
T3
T5
T4
R
P
الغاز
الحقيقي
الشكل ) 2 )
ان الخصائص المميزة لهذه المنحنيات في الشكلين ) 1 () 2 (هي :-
1 -ان النتائج تقع على منحنيات مستمرة وبسيطة مهما كانت طبيعة الغاز او درجة حرارته.
2 -ان هذه المنحنيات تقترب من بعضها البعض كلما قل الضغط وتلتقي امتداداتها في نقطة واحدة
على المحور الصادي مهما كانت درجة الحرارة.
3 -ان المنحنيات المماثلة لكل الغازات الاخرى تقترب تماما من نفس النقطة على المحور الصادي
اي ان هناك قيمة مشتركة لكل الغازات وهي القيمة الحدية للنسبة pv/T عندما يقترب الضغط
p من الصفر وان القيمة التي تلتقي عندها المنحنيات تدعى بالثابت العام للغازات ونعبر عنه
رياضيا كما يأتي:-
R=lim???0?????? (10)
ان هذه صحيحة فقط عندما تكون الغازات الحقيقية تحت ضغط واطئ جدا.
ان الخط المتقطع في الشكلين ) 1,2 ( يمثل معادلة الحالة للغاز المثالي . لذلك فان (pv/??) للغاز
المثالي واحدة تماما مهما كانت قيمة T,P .
4 -الغازات الحقيقية:
لقد وجدنا ان سلوك الغاز المثالي يمكن تمثيله بالعلاقة البسيطة pv=RT حيث ان R ثابت فان
الغازات الحقيقية لا تتبع هذه المعادلة الا تحت شروط خاصة. لقد تبين من تجارب اندروز
وإماجاد )على غاز 2,CO2N ( ان الغازات الحقيقية لا تخضع لمعادلة الغاز المثالي بل تنحرف
عن سلوك الغاز المثالي انحرافا ملحوظا ويزداد هذا الانحراف كلما زاد الضغط المسلط على
الغاز وانخفضت درجة حرارته بحيث لا تتجاوز الدرجة الحرجة.
(??????)
H2
غاز
المثال
R
T4
P
CO2
ان الغازات الحقيقية عندما تخضع لظروف خاصة من ضغط ودرجة حرارة تتحول الى سائل
وعليه يجب ان تمثل معادلة الحالة سلوك المائع ولهذا سيتم تعديل المعادلة pv=nRT بحيث
تصبح ممثلة لسلوك الغازات الحقيقية تحت كل الظروف من ضغط ودرجة الحرارة .
ان المادة يمكن ان توجد بثلاث حالات صلبة وسائلة وغازية وقد كان يعتقد ان الغازات مثل
النيتروجين والاوكسجين والهليوم ........ توجد فقط بحالتها الغازية وقد كان يعتقد ان هنالك حد
فاصل دائم بين الحالة الغازية والحالة السائلة، لكنه وجد ان تحت ضغوط عالية ودرجات حرارة
واطئة ان الغازات تنحرف بشكل ملحوظ عن قانون بويل وتحت ضغط عالي تقترب الجزيئات
من بعضها البعض وتصبح قوى التجاذب بين الجزيئات محسوسة وعندما تصبح المسافة بين
الجزيئات مساوية للمسافة المناظرة بين الجزيئات في حالة السيولة فان الغاز يتحول الى سائل.
ان الحالات الثلاثة للمادة هي حالات متصلة تمثل مراحل مختلفة لظاهرة مستمرة فاذا سخنا الجليد
فان الجزيئات تتحرك بحرية اكثر ويتحول الى ماء واستمرار التسخين يزيد من حركة الجزيئات
وعندما تصبح قوى التجاذب بين الجزيئات صغيرة يتحول السائل الى الحالة الغازية والعكس
ممكن أيضا.
5 -معادلات الحالة للغازات الحقيقية : لقد كان هنالك محاولات عديده لتشكيل معادلة الحالة للغاز
الحقيقي والتي تصف خواصه بدقة عندما يكون في حالة الغازية او حالة السائلة ،ان ابسط أسلوب
لبناء مثل هذه المعادلات هو تحوير معادلة الحالة للغاز المثالي بحيث تأخذ بنظر الاعتبار
الخصائص التي تميز الغاز الحقيقي عن الغاز المثالي .
لقد تم اقتراح معادلات عديدة ولكن لا توجد هناك معادلة واحده تتفق مع كل الحقائق الملحوظة
عن الغازات الحقيقية و من اهم هذه المعادلات هي :
1 -معادلة اونس: من النتائج التجريبية التي أجريت على الغازات الحقيقية استطاع اونس ان يقترح
المعادلة التجريبية التالية :
????=??+????+????2+????3+? (11)
حيث ان A و B و C و D معاملات تعتمد على طبيعة الغاز ودرجة حرارته وتدعى بالمعاملات
الحديه. ان قيمة هذه المعاملات تقل كلما ازداد الضغط p لذا فان المعامل A من اهم المعاملات
ثم يليه B اما C و D فقيمتهما صغيره جدا. وعندما يكون الضغط المسلط على الغاز عاليا فان
المعامل A يساوي RT لمول واحد من الغاز والحدود الأخرى تهمل فتصبح المعادلة:
????=????+???? (12)
2 -معادلة فان ديرفالز: من أكثر المعادلات سهوله وشهره للغاز الحقيقي حيث ان هذه المعادلة
تأخذ بنظر الاعتبار قوى التجاذب بين الجزيئات والتي لا يمكن اهمالها خاصة عندما تكون
الجزيئات متقاربة من بعضها البعض تحت الضغوط العالية وكذلك لجزيئات الغاز الحقيقي حجم
فعلي لا يمكن اهماله لذا أصبح من الضروري تعديل معادلة الحالة للغاز المثالي وتصبح بالشكل
التالي:
??+????)(???????)=???? (13) )
حيث ان V? يمثل مقدار التصحيح بالحجم الناتج من اخذ حجم جزيئات الغاز بنظر الاعتبار و p?
تمثل مقدار التصحيح بالضغط الناتج من قوى التجاذب بين جزيئات الغاز وتصبح المعادلة ) 13 )
بعد إيجاد التصحيح في الحجم والضغط كما يلي:
(14) (??+????2) (v?b)=RT
3 -معادلة كلا سيوس : اجرى بعض التعديلات على معادلة الحالة للغاز المثالي بأخذ التصحيحات
على حجم الاناء حيث فرض ان حجم الغاز ليس هو حجم الاناء دائما اقل من ذلك بحيث تأخذ
المعادلة الشكل التالي
??(?????)=???? (15)
4 -معادلة ديتريسي: من الممكن اشتقاقها بنفس أسلوب معادلة فان ديرفالز مع اجراء بعض
التعديلات.
??(?????)=???? ????????? (16)
5 -معادلة بيرثيلوت: تأخذ هذه المعادلة الشكل التالي
(17) (??+???????2)(?????)=????
حيث ان ??? لا يعتمد على درجة الحرارة هذه المعادلة مناسبة للغاز عند درجة الحرارة الواطئة
6 - معادلة كالندرا :
(?????)=????????????? (18)
حيث ان n= 10/3 وهذه المعادلة مشتقة للبخار
وكذلك هنالك معادلات أخرى مثل معادلة بيني –برجمان وغيرها.
مثال) 1 :)
في الشكل ??1=4×105??/??2 و ??2=10×105??/??2 و ??1=2.5??3????.???????
اوجد 1 - درجة الحرارة (T) للمنحني 2 - درجة الحرارة d,b 3 - الحجم النوعي 2v
4 - الحجم الاصلي في a
p
P2
b
a
P1
V1
V2
c
T
d
v
الحل /
????=??????
????=??????=10×105×2.58.31×103=300??
2 - dT
????=??????=4×105×2.58.31×103=120??
3 - نجد 2v للحصول على bTحيث ان c=TaT
????=????=4×105×??2=8.31×103×300=6.25??3????????? ????=??????=10×105×6.258.31×103=750??
4 - ????=??????=????=2.5×4=
حيث ان T,P,V لكل نقطه تعطى في الجدول التالي
d
c
b
a
4×105
4×105
10×105
10×105
P
2.5
6.25
6.25
2.5
V
120
300
750
300
T
من السؤال السابق يمثل الشكل خمس عمليات ab , bc ,cd, ad, ca رسمت في المستوي
(p-v) بالاعتماد على الشكل السابق ارسم العمليات في المستوي (p-T) و المستوي (T-V
10×105
4×105
120
300
750
T
P
a
d
c
b
العمليات في المستوي (T-V) واجب
6 -المعامل الحرج:
ان النسبة
?????????????? تعرف بالمعامل الحرج للغاز يمكن اعتبار المعامل الحرج للغاز معيار لقياس
مدى انحراف سلوك الغاز الحقيقي عن المعادلة المقترحة لوصف سلوك ذلك الغاز.
الحالات المتناظرة :
ان الضغط الفعلي للغاز يعطى (P) يعطى بدلالة الضغط الحرج )C(P والضغط المختزل r)(P
وكما يلي
??=???????? (19)
وكذلك الحجم الفعلي (v) ودرجة الحرارة (T)
??=???????? (20)
??=????????
ان قانون الحالات المتناظرة ينص على كل من الغازين 1 و 2 يكونان في حالات متناظره اذا كانت
قيم كل من ???? ، ???? ، ???? واحدة للغازين أي ان
??1????1=??2????2
??1????1=??2????2 (21)
??1????1=??2????2
الحالات المتناظرة
-7 معادلات الحالة الأخرى :
لقد تحدثنا عن معادلة الحالة للغازات بدلالة الخواص (P,V,T) ولكن المبادئ الأساسية في
الثرموداينمك عامة التطبيق ولا تقتصر فقط على الغازات بل ممكن تطبيقها على كل حالات المادة
ومختلف العمليات وليس من الضروري ان تتقيد معادلة الحالة بنفس الخواص السابقة (P,V,T)
بل يمكن ان تتشكل المعادلة حسب طبيعة الكيان والمؤثرات الخارجية عليه ومهما كانت طبيعة
الكيان فان الخاصية الجوهرية المشتركة في كل معادلات الحالة هي درجة الحرارة اما الخواص
الأخرى فتتوقف على طبيعة الكيان وهنالك امثلة لإيجاد معادلة الحالة لكيانات مختلفة نأخذ مثلا
سلك معدني متوتر .
فلو اخذنا سلك معدني مشدود كما في الشكل ) 3 )
الشكل ) 3 )
ان هذا السلك يخضع لقانون هوك الذي ينص على ان مقدار الاستطالة في السلك تتناسب طرديا
مع مقدار الثقل المعلق ضمن حدود المرونة. فاذا كان الطول الأصلي للسلك هو °L وطول السلك
بعد تعليق الثقل هو 1L فان مقدار الاستطالة في طول السلك هي ???=(??1???°)
ومساحة مقطع السلك هي A فان معامل يونك ? هو :

L1
Mg
?=??????°???1?? (22)
???1=??????°??? (23)
واذا صاحب الاستطالة ارتفاع في درجة حرارة السلك )نتيجة التسخين( فان السلك سيعاني
استطالة إضافية نتيجة التمدد الحراري. فاذا كانت درجة حرارة السلك الابتدائية ??° ثم ارتفعت
الى T فان الزيادة في طول السلك نتيجة التأثير الحراري هي ???2 أي ان :
???2=??°?? (?????°) (24)
حيث ان ?? معامل التمدد الطولي للسلك. وعليه يكون الطول النهائي للسلك L هو :
L=??°+???1+???2. (25)
L=??°+??????°???+??°?? (?????°) (26)
L=??°(1+???????+?? (?????°)) (27)
هذه المعادلة تمثل معادلة الحالة لسلك معدني متوتر.

المادة المعروضة اعلاه هي مدخل الى المحاضرة المرفوعة بواسطة استاذ(ة) المادة . وقد تبدو لك غير متكاملة . حيث يضع استاذ المادة في بعض الاحيان فقط الجزء الاول من المحاضرة من اجل الاطلاع على ما ستقوم بتحميله لاحقا . في نظام التعليم الالكتروني نوفر هذه الخدمة لكي نبقيك على اطلاع حول محتوى الملف الذي ستقوم بتحميله .
الرجوع الى لوحة التحكم