انت هنا الان : شبكة جامعة بابل > موقع الكلية > نظام التعليم الالكتروني > مشاهدة المحاضرة

Taylor Series 7

Share |
الكلية كلية التربية للعلوم الصرفة     القسم قسم الفيزياء     المرحلة 2
أستاذ المادة هدى عامر هادي       21/03/2021 21:29:26
In the previous lesson we studied about specific kinds of series is called the Power Series. Today we are going to talk about a function represented by a power series is called Taylor Series.
We know form the definition of the Power Series in the previous lecture
f(x)=?_(n=0)^??a_n ?(x-c)?^n ?=a_0+a_1 ?(x-c)?^1+a_2 ?(x-c)?^2+a_3 ?(x-c)?^3+a_4 ?(x-c)?^4+?,
then
f^ (x) = a_1+2a_2 ?(x-c)?^1+?3a?_3 ?(x-c)?^2+?4a?_4 ?(x-c)?^3+?
f^ (x)= 1.2 ? a?_2+?2.3 a?_3 ?(x-c)?^1+?3.4 a?_4 ?(x-c)?^2+?
f^ (x) = ?1.2.3 a?_3+?2.3.4 a?_4 ?(x-c)?^1+3.4.5? a?_5 ?(x-c)?^2+?

f^n (x)= ?n! a?_n+sum of terms with ?(x-c)?^n as a factor
Then Taylor series for f(x) about x=c, is
f^ (a) = a_1, f^ (a)= 1.2 ? a?_2, f^ (a) = ?1.2.3 a?_3, …, f^n (a) = ?n! a?_n ? ? a?_n= (f^n (a))/n!
?f(x)=?_(n=0)^??(f^n (a))/n! ?(x-c)?^n ?= f(a)+f^ (a)(x-c)+ (f^ (a))/2! ?(x-c)?^2+(f^ (a))/3! ?(x-c)?^3+?
at x=c.


If the c=0 then the series will called Maclaurin series for the function f(x) and its form is
f(x) = f(0)+(f^ (0))/1! x+(f^ (0))/2! x^2+(f^ (0))/3! x^3+? , at c=0.

Ex 1: Find the Taylor series by f(x) = e^x at x=0.
Sol: Since f^n (x) = e^x and f^0 (0) = e^x=1, ?n=1,2,3,… then
f^1 (x) = e^x ? f^1 (0) = e^x=1
f^2 (x) = e^x ? f^2 (0) = e^x=1
f^3 (x) = e^x ? f^3 (0) = e^x=1
?
f^n (x) = e^x ? f^n (0) = e^x=1

? e?^x= f (0) + f^ (0) x/1!+f^ (0) x^2/2!+f^ (0) x^3/3!+?
= 1+x/1!+ x^2/2!+ x^3/3! + x^4/4!+?
= ?_(n=0)^?x^n/n! .
Ex 2: Find the Taylor series for f(x) = x^3-?10x?^2+6 at x=3.
Sol. Since f^n (x) = x^3-?10x?^2+6 , then
f^0 (x) = x^3-?10x?^2+6 ? f^0 (3) = 3^3-?10(3)?^2+6 = 9-90+6 = -57
f^1 (x) = 3 x^2-?20x?^1 ?f^1 (3) = 3 (?3)?^2-?20(3)?^1= -33
f^2 (x) = 6 x^1-20 ?f^2 (3) = 6(3)-20 = -2


المادة المعروضة اعلاه هي مدخل الى المحاضرة المرفوعة بواسطة استاذ(ة) المادة . وقد تبدو لك غير متكاملة . حيث يضع استاذ المادة في بعض الاحيان فقط الجزء الاول من المحاضرة من اجل الاطلاع على ما ستقوم بتحميله لاحقا . في نظام التعليم الالكتروني نوفر هذه الخدمة لكي نبقيك على اطلاع حول محتوى الملف الذي ستقوم بتحميله .
الرجوع الى لوحة التحكم