الكورس الاول - محاضرة 5

حلول المعادلات غير الخطية
طريقة الموضع الكاذب FALSE POSITION METHOD
تعتبر هذه الطريقة من الطرق القديمة لحساب جذور المعادلة f(x)=0. في هذه الطريقة نجد أولاً عددين x1 و x2 بحيث يقع الجذر المطلوب بينهما. أي إن مخطط الدالة y=f(x) يقطع المحور x بين x1 و x2 وإن القيمتين y1=f(x1) و y2=f(x2) مختلفتي الإشارة.
بما أن بالإمكان تقريب أية قطعة مستقيم من منحني أملس بخط مستقيم لذا سوف نفترض أن قطعة المستقيم بين النقطتين (x1, y1) و (x2, y2) بمثابة تقريب للدالة f في الفترة [x1, x2] وبالتالي نعتبر نقطة تقاطع المستقيم هذا مع المحور x قيمة تقريبية لجذر المعادلة f(x)=0. هذه هي القاعدة الأساسية التي تعتمد عليها طريقة الموضع الكاذب وتشتق الصيغة العامة لحساب والجذر كما يأتي:












في الشكل أعلاه، نفرض أن قطعة المستقيم الواصلة بين P(x1, y1¬) و Q(x2, y2) تقطع المحور x في x3 وعليه تكون معادلة المستقيم QP:


(y-y_2)/(x-x_2 )=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )
نفترض أن y=0 نحصل على الصيغة:
x=x_2-(y_2 (x_2-x_1))/(y_2-y_1 )

x=(x_1.y_2-x_2 ?.y?_1)/(y_2-y_1 )
إن القيمة X لا تعتبر تخميناً جيداً للجذر، وذلك لأن الدالة f ليست بالضبط الخط المستقيم بين P و Q لذلك يجب إيجاد تقريب أفضل لجذر المعادلة. ويتم هذا بإعادة الأسلوب أعلاه بعد تعيين القيمتين الجديدتين حول الجذر. فنقوم أولاً بحساب y=f(x) وبيان اختلاف إشارتهما مع y1 أو y2 فإذا كان y1. y<0 فإن الجذر يقع بين x1 و x وبخلاف ذلك فإن الجذر يقع بين x2 و x.
علماً أنه يجب اختبار اختلاف الإشارة بين yi و yi-1 في كل خطوة واختيار القيمتين الجديدتين حول الجذر في ضوء ذلك. وهكذا يكرر استخدام الصيغة إلى أن تصبح قيمة:
|x_1-x|أي أقل من الخطأ المسموح به.
أو عندما f(x)=0 فذلك يعني أن x هو جذر المعادلة.
مثال: جد جذر المعادلة f(x)=x. ln(x)-1=0 بطريقة الموضع الكاذب. في الفترة [1, 2] وبمقدار خطأ ?=0.001.
الجواب:
Step 1:
f(x1)=-1
f(x2)=0.3863
x=(1*(0.3863)-2*(-1))/(0.3863+1)=1.7213
|x_1-x|=|1-1.7213|=0.7213
f(x)= - 0.0652
x1 = x; y1 = y;
x=(1.7213*(0.3863)-2*-0.0652)/(0.3863-(-0.0652))=1.7615
|x_1-x|=|1.7213-1.7615|=0.0402
f(x) =- 0.0027
x1 = x; y1 = y;
x=(1.7615*0.3863-2*(-0.0027))/(0.3863-(-0.0027))=1.7632
|x_1-x|=|1.7615-1.7632|=0.0017
f(x)=-0.00004
x2 = x; y2 = y;
.
.
. etc.

واجب: عين مواقع الجذور للمعادلات التالية باستخدام طريقة الموضع الكاذب:
f(x)=x4 - 7x3 + 3x2 + 26x -10=0 في الفترة [-4, 0] وبخطأ =0.001?.
f(x)=x-sin?(x)-1=0.





برنامج طريقة الموضع الكاذب بنظام ال MATLAB
clc
f=inline( x*log(x)-1 )
x1=input( x1= );
x2=input( x2= );
n=input( n= );
y1=f(x1);
y2=f(x2);
for i=1:n
x=((x1*y2)-(x2*y1))/(y2-y1);
y=f(x);
disp(x)
if abs(x1-x)<0.001
break
else
if y1*y<0
x2=x; y2=y;
else
x1=x; y1=y;
end
end
end

النتائج التي تظهر بعد التنفيذ:
1.7213
1.7615
1.7632
1.7632
نلاحظ أن هذه الطريقة أسرع من طريقة تنصيف الفترات في إيجاد القيمة التقريبية للجذر حيث احتاجت فقط إلى أربعة تكرارات لتتوصل إلى الجذر التقريبي.