قانون فرداي والمجال الكهربائي الحثي

لاحظنا ان تغيير الفيض المغناطيسي يولد قوة دافعة كهربائية حثية وتيار حثي في الدائرة وهذا يؤكد على وجود مجال كهربائي حثي نتيجة لتغير في الفيض المغناطيسي. وكما نعلم من النظرية الكهرومغناطيسية ان مجال كهربائي يتنج من تغير الفيض المغناطيسي في الفراغ. وهنا سنقوم بحساب العلاقة بين المجال الكهربائي المستحث والتغير في الفيض المغناطيسي.
الشكل 8 يبين حلقة موصلة نصف قطرها r موضوعة في مجال مغناطيسي خارجي متغير مع الزمن عمودي على مستوى الحلقة. من قانون فارادي فإن القوة الدافعة الكهربائية تعطى كالتالي:
?=-d?/dt
تعمل القوة الدافعة الكهربائية على توليد تيار كهربائي في الحلقة الموصلة وهذا بدوره يشير إلى وجود مجال كهربائي يتناسب مقداره والتيار المار في الحلقة وله اتجاه المماس على الحلقة كما في الشكل.


بحساب الشغل المبذول لتحريك شحنة q في الحلقة الموصلة بواسطة كلاً من المجال الكهربائي الناشئ والقوة الدافعة الكهربائية، ومساواة المعادلتين ينتج ان:
q?=qE(2?r) ? E=?/2?r
وبصورة عامة يمكن ان تُكتب هذه المعادلة بالصورة:
?=???E.dl? (9)
???E.dl?=- d?/dt (10)
???E.dl?=-?_S??dB/dt .ds? (11)
وتسمى المعادلة التكاملية (11) بمعادلة ماكسويل المشتقة من معادلة فارادي.
ويمكن ايجاد معادلة ماكسويل التفاضلية المشتقة من قانون فارداي كآلاتي:
حسب قاعدة ستوكس، فإن المعادلة 9 تصبح:
?_C??E.dl?=?_S?? (?×E) .dS? (12)
حيث S سطح مغلق محاط بمسار مغلق C. وبمساواة هذه المعادلة مع المعادلة 11 يُحصل على:
?_S?? (?×E) .dS?=-?_S??dB/dt .ds? (13)
أو
(?×E) =-dB/dt (14)
وتعرف هذه المعادلة بمعادلة ماكسويل التفاضلية المشتقة من قانون فارداي.