الغايات ( النهايات)

الغايات ( النهايات) ( Limits )
يقال للدالة w = f (z) المعرفة بجوار النقطة z0 لها غاية أو نهاية مثل w0 عندما تقترب z من z0 وتكتب Lim f (z) = w0
اذا وفقط اذا كان لكل عدد حقيقي موجب > 0 ? يمكن أيجاد عدد آخر > 0 ?
بحيث تقترب z من z0 وتكتب Lim f (z) = w0
اذا وفقط اذا كان لكل عدد حقيقي موجب > 0 ? يمكن أيجاد عدد آخر > 0 ? بحيث < ? لكل z التي تحقق المتباينة ? 0 < ?z - z0? < يمكن كتابة ذلك باختصار كما ياتي

? ? > 0 , ?? > 0 , 0 < < ? < ?













وهذا يعني ان قيمةw = f (z) تصبح قريبة جدا" من 0w عندما تكون z قريبة جدا" من z0.
لكل جوار للنقطة w0 بقدر ? يوجد جوار لـ z0 بقدر ? بحيث أن كل نقطة من الجوار N ( z0 , ? ) تكون صورتها داخل الجوار N
مثال
برهن أن
الحل
لتكن ? > 0 أي عدد حقيقي موجب صغير علينا أيجاد > 0 ? بحيث لكل قيم z التي تحقق المتباينة
0 < < ?
ينتج لدينا أن
< ?

نبدأ من المتباينة الخاصة بالدالة أي من < ?


< ?

< ?

< ?

<


أي أن <

? = ? تؤدي المهمة المطلوبة .
مبرهنات حول الغاية
مبرهنة 1 وحدانية الغاية (Uniqueness of Limits )
اذا كان للدالة f غاية عند النقطة Z0 فأن هذه الغاية وحيدة .
مبرهنة 2
لتكن f (z) = u (x,y) + iv (x,y) عندئذ