دوال المتغيرات المركبة

الدالة المعقدة ( Complex Function)
لتكن كل من D و R مجموعتان خير خاليتان من الأعداد المركبة يقال أن f دالة من D إلى R إذا كانت f مجموعة من الأزواج المرتبة f ? (z , ?) ، يسمى D منطلق الدالة و R مستقرها.
مثال :
أن منطلق الدالة ? = هي جميع نقاط المســتوي المعقد عدا النقطتين
z = ? 2i

لنفرض v , u هما القسمان الحقيقي والخيالي للدالة ? = f (z) ( u الجزء الحقيقي ، v الجزء الخيالي ) عندئذ v , u دالتان حقيقيتان تعتمدان على المتغيرين الحقيقين x , y حيث z = x + iy وتكتب الدالة المعقدة
? = f (z) = u (x,y) + iv(x , y) …(*)
مثال : لتكن الدالة ? = z2 ، عندئذ
? = f(z) = (x + i y )2 = x2 + y2 + 2xyi
= u(x ,y) + i v (x ,y)
وبمقارنتها بالمعادلة (*) نجد أن x2 + y2 = u(x ,y) و2xy= v (x ,y)
الدالة الوحيدة القيمة ( Single Value function )
تكون الدالة ? = f (z) وحيدة القيمة في المنطقة D اذا كان لكل Z ? D يقابله قيمة وفقط قيمة واحدة من قيم الدالةf (z) .


مثال
الدالة w = z2 + z + 1 وحيدة القيمة
الدالة المتعددة القيم (( Multiple Valued Function
تسمى الدالة ? = f (z) متعددة القيم في المنطقة D اذا كان لكل Z? D يقابله عدة قيم من ? = f (z) .
مثال
الدالة w = z ثنائية القيمة لأن لكل z يقابله قيمتين لـ ? ولتحقيق ذلك نستعمل الصيغة القطبية z = r ( cos ? + i sin ?) وبتطبيق قاعدة دي موفري نجد أن

? = z = r ( cos + i sin )
حيث
k = 0 , 1

الدالة المتباينة ( One to One Function)
لتكن ? = f(z) دالة منطلقها D ، يقال بان f دالة متباينة اذا وفقط اذا كان لكل z1 , z2 ?D فأنf (z1) = f (z2) ? z1 = z2
الدوال العكسية ( Inverse Function )
اذا كانت f دالة متباينة منطلقها D ومداها S فان الدالة العكسية للدالة f ويرمز لها f هي الدالــة التي منطلقـها S ومداها D ولكل ? ?S يوجد z ?D بحيث ? = f (z)
ولحساب الدوال العكسية f للدالة f نجد z بدلالة ? ثم نعيد كتابتها بالصيغـة ? = f (z) لكل z ?S .


مثال
لتكن الدالة ? = f (z) = ، Z ?-2 جد معكوسها