3 Lecture

ان موضوع غاية المتتابعة يكون مشابه لموضوع غايات الدوال الذي سبق و ان درسه الطالب في الصف الاول. باعتبار ان المتتابعة هي دالة منطلقها مجموعة الاعداد الطبيعية و مستقرها مجموعة الاعداد الحقيقية.
1. يقال lim?(n??)??a_n=L? اذا كانت a_n تقترب الى L عندما تقترب n من ?.
2. يقال ان lim?(n??)??a_n=?? اذا زادت قيم a_n بازدياد قيم n.
3. يقال ان lim?(n??)??a_n=-?? اذا اقتربت قيم a_n من -? بازدياد قيم n.
ستساعدنا هذه الملاحظة في فهم التعريف الدقيق الاتي للغاية limit.
تعريف.1. يقال ان lim?(n??)??a_n=L? اذا كان
??>0 ?k?N? |a_n-L|k
2. يقال ان lim?(n??)??a_n=?? اذا كان
??>0 ?k?N? a_n>? ?n>k
3. يقال ان lim?(n??)??a_n=-?? اذا كان
?M<0 ?k?N? a_nk
ان الملاحظة و التعريف اعلاه تخبرنا لكي تكون غاية متتابعة {a_n } موجودة يجب ان تتقارب جميع حدود المتتابعة الى عدد معين L عندما تزداد قيم n.
ملاحظة.يقال عن المتتابعة {a_n } متقاربة convergent اذا كان lim?(n??)??a_n ? موجودة و تساوي L مثلا. في بعض الاحيان نقول ان المتابعة {a_n } متباعدة divergent الى ? عندما lim?(n??)??a_n=?? و اذا كان lim?(n??)??a_n=-?? عندئذ سنقول انها متباعدة الى -? .
مثال. المتتابعة ?(ln?n ) متباعدة الى ?.
و الان نتسائل كيف نجد غاية متتابعة معينة ؟ اكثر المتتابعات يمكن ايجاد غاياتها باستخدام المبرهنات الاتية:
مبرهنة 1 . لتكن {a_n } متتابعة حقيقية ، اذا كانت لدينا الدالة f(x) بحيث ان f(n)=a_n و كان lim?(n??)??f(x)=L? فان lim?(n??)??a_n=L?.