بديهية باخ مع النظريات المتعلقة بها

مقدمة لبديهية باخ : The Axiom of Pasch
في كثير من البراهين الاقليدية ,مثل ,"المستقيم الذي يمر برأس مثلث " و " منصف زاوية في مثلث " قد افترضت بان هذه المستقيمات تقطع الضلع المقابل في المثلث . لكن على أي اساس اعتمدت هذه الفرضية ؟. لقد صاغ العالم باخ بديهيته ليس فقط على انها عبارة اعتمد عليها في البراهين , ولكن لانه ليس بالامكان برهنتها من بديهيات اقليدس المعروفة.
تعريف:
لتكن A,B,C ثلاث نقاط مختلفة ولاتقع على مستقيم واحد , ان اتحاد {A,B,C} مع القطــع A-B ,A-C,B-C يدعى مثلثا , تدعى A,B,C الرؤوس . تدعى B-C,A-B,A-C, الاضلاع.
Ax10 :"باخ"
اذا كانت A,B,C رؤوس مثلث و m هو مستقيم لايمر باي راس من هذه الرؤوس ويحتوي m على نقطة من الضلع A-B , فان m يحتوي كذلك على نقطة من الضلع B-C او A-C .
تسال :هل ان المستقيم m يقطع كل من B-C وA-C ؟.
الجواب / كلا . كما في مبرهنة 17 .
مبرهنة 17:
اذا كانت A,B,C رؤوس مثلث , أي مستقيم m يحتوي على نقطة من الضلع A-B ونقطة من الضلع A-C , فانه لايمكن ان يحتوي على نقطة من الضلع B-C .
او بعبارة اخرى : المستقيم الذي يقطع ضلعا واحدا من مثلث والذي لايمر باي راس منه , فانه يقطع ضلعا واحدا فقط من الضلعين الاخرين.
البرهان:
نفرض وجود مستقيم m يحتوي على مثل هذه النقاط D,E,F بحيث ان .
من الفرض ومبرهنة 2 : تكون النقاط مختلفة.
من Ax7 : تتحقق واحدة ممايلي
D-F-E, D-E-F, F-D-E .
نفرض ان D-F-E , بما ان ,
فان E تقع على المستقيم BC (Th13) وكذلك D تقع على الخط AB ,
من (Th2 ) : النقاط D,E,B لاتقع على مستقيم واحد.
لذلك من Ax10 (باخ) : المستقيم AC الذي يقطع D-E في F يجب ان يقطع B-E او B-D .
لكن هذا لايمكن من (Th2 و Ax7 ) , لذا فان الفرض يكون خاطئا .
وبنفس الطريقة , نتوصل الى تناقض اذا كان D-E-F او F-D-E .
وبهذا , فان المستقيم الذي يقطع ضلعين في مثلث , فانه لايقطع الضلع الثالث.
تعريف :
ليكن m أي مستقيم و P نقطة لاتقع على m .لتكن مجموعة تحتوي على P وكل النقاط X لاتقع على m ,بحيث ان P-X لاتحتوي على نقطة من m . أي ان

لتكن مجموعة كل النقاط Y بحيث ان P-Y تحتوي على نقطة m .اي ان

فان و تدعيان جهتي المستقيم m .
وتدعيان ايضا نصفي المستوي بالنسبة للمستقيم m .
أي ان : هو نصف المستوي الذي يحتوي P .
: نصف المستوي الذي لايحتوي P .

مبرهنة 18:
جهتا المستقيم غير خاليتين .
او بعبارة اخرى : نصفا المستوي S1 وS2 غير خاليين .
البرهان/
نفرض ان مستقيم معلوم .
حسبAx3 : توجد نقطة P بحيث ان
وحسب Ax2 : توجد على الاقل نقطتين مختلفتين ولتكن Q احداهما على .
حسب Ax9: توجد نقطة Y بحيث ان-Y P -Q .
ولذلك P-Y تحتوي على نقطة Q من , أي ان .
أي ان جهة المستقيم (المجموعة ).
توجد نقطة اخرى R على .
من Ax9 : توجد نقطة X بحيث ان Y-R-X .
في , بما ان يقطع الضلع P-Y في Q ويقطع الضلع Y-X في R ,
من Th17 : لايمكن ان يقطع الضلع P-X .
منAx6 وTh2 : لاتقع X على , فان
أي ان جهة المستقيم (المجموعة ).
مبرهنة 19:
توجد جهتان فقط للمستقيم m (نسبة الى النقطة P ) وتكونان مع m تجزئة لمجموعة كل النقاط.
البرهان/
كل نقطة اما تقع على او لاتقع ,
من برهان Th18 : اذا كانت M نقطة على , فانه توجد نقطتين P,Q لاتقعان على , بحيث
P-M-Q .
لتكن X اية نقطة لاتقع على .
اذا كانت X تقع على المستقيم PQ , فانه تتحقق واحدة فقط من الحالات الاربع التالية:
X-P-Q ,P-X-Q , P-Q-X , X=P or X=Q .
فواحدة فقط من القطع P-X , Q-X تقطع .
اذا كانت X لاتقع على المستقيم PQ , فايضا واحدة فقط من القطع P-X,Q-X تقطع .
اذا كان أي قطعة من هذه القطع لاتقطع , وبما ان P-M-Q , أي ان يقطع P-Q في M ,( تناقض مع Ax10).
اما اذا كان كل من P-X, Q-X تقطع , (تناقض مع Th17).
اذا كانت P-X لاتقطع , فان ؟.
بما انه توجد هذه الاحتمالات فقط وان كل نقطة في واحدة فقط من المجموعات .
مبرهنة 20:
أي مستقيم يفصل مجموعة كل النقاط الى جهتين.
البرهان/
H.W
مبرهنة 21:
ليكن مستقيما , P,P نقطتان لاتقعان على . جهتا المستقيم المتعينتين من P و هما نفس الجهتين المتعينتين من P و .
البرهان/
حسب التعريف

يجب ان نبرهن ان
البرهان الحالة الاولى:
عندما P,P في نفس جهة , يجب ان نبرهن ان
نفرض ان
من Th20: ؟
ولكن هي تجزئة ايضا للمستوي.
بما ان فان اما او وليس كلاهما.
الحالة 1) الاحتمال A: اذا كان
وبنفس الطريقة
الاحتمال B: عندما ,هذا غير ممكن ؟
لانه لو صح ذلك فان P -X يقطع بينما P-X لايقطع لان
وان P لايقع على الخط .
اذن الخط يقطع P-P وهذا مستحيل.
لان P,P بنفس الجهة من .
اذن الاحتمال B مرفوض وان احتمال A هو الوحيد المقبول.
اذن .
وبنفس الطريقة نبرهن ان
اذن
برهان (H.W )
الحالة 2) اذا كانت P,P في جهتين مختلفتين ولتكن وبنفس الطريقة السابقة اعلاه.
مبرهنة 22:
ليكن مستقيمين مختلفين ,جهتا المستقيم تختلفان عن جهتي المستقيم .
البرهان /
H.w