القوة المغناطيسية المؤثرة على سلك يمر خلاله تيار كهربائي

1-3 القوة المغناطيسية المؤثرة على سلك يمر خلاله تيار كهربائي
Magnetic Force on a Current-Carrying Wire

ذكرنا في الفقرة (1-1)من المحاضرة الاولى ان هناك قوة مغناطيسية تؤثر على الشحنات الكهربائية المتحركة خلال مجال مغناطيسي. ولما كان التيار الكهربائي هو سيل من شحنات كهربائية، وفي المواد الموصلة هذا السيل يتألف من الالكترونات الحرة، فاذا سلط مجال مغناطيسي على موصل يسري فيه تيار كهربائي تولدت قوة على كل شحنة متحركة خلاله وما القوة المغناطيسية على الموصل الا محصلة تلك القوى المغناطيسية.
ولحساب القوة المؤثرة على سلك يمر به تيار كهربائي شدته I،افترض ان سلكا مستقيماً من مادة موصلة طولها Lومساحة مقطعها A يمر بها تيار كهربائيI، والسلك موجود في منطقة مجال مغناطيسي B كما في الشكل 7. تتحرك الشحنات داخل مادة الموصل بسرعة تسمى سرعة الانجراف Drift velocity))التي يرمز لها v ?d، وبما ان المقدار الكلي للشحنة في هذا المقطع Qtot=q(nAL) ، لذلك يكون تأثير المجال المغناطيسي على الشحنة المتحركة كالتالي:
F ?_B = Qtotv ?d×B ?= qnAL(v ?d × B ?)=I(L ? × B ?) (7)
حيث ان AqnvdI=، وL ?هو طول المتجه الذي قيمته L وهو يتجه في اتجاه التيار.
المعادلة (7) تمثل القوة المغناطيسية الكلية المؤثرة على سلك يمر به تيار في مجال مغناطيسي.

الشكل (7): القوة المغناطيسية على سلك موصل [3].

في حالة كون السلك غير منتظم فإننا نقسم السلك إلى عناصر صغيرة طول كل منها ds ? كما في الشكل 8 وتكون القوة المغناطيسية المؤثرة على العنصر ds ? هي:
dF ?_B= I ds ?×B ?
اما القوة الكلية فتكون:
F ?_B= I ?_a^b??ds ?×B ? ? (8)
حيث ان a وbتمثل نهايتي السلك.

الشكل (8): سلك يحمل تيارا موضوع في مجال مغناطيسي[3].
وهناك عدد من الحالات في حالة كون السلك غير مستقيم منها في حالة سلك منحني كما في الشكل 9 ويمر به تيار في مجال مغناطيسي منتظم فإن القوة المغناطيسية في هذه الحالة هي:
F ?_B =I L ? × B ? (9)
حيث L ?تمثل الازاحة بين نقطة البداية والنهاية للسلك.

الشكل (9): سلك منحني يحمل تيارا [8].

اما في حالة وجود حلقة متصلة من سلك يمر به تيار كهربائي موضوع في مجال مغناطيسي منتظم(الشكل 10) فإن القوة المغناطيسية الكليةF ?_B المؤثرة على الحلقة تساوي صفراً، .
F ?_B= I (???ds ?)×B ? ?

المجموع الاتجاهي للازاحات الصغيرة يساوي صفر(???ds ?=0?) حيث ان نقطة البداية هي نقطة النهاية.

الشكل (10): حلقة متصلة من سلك يمر به تيار كهربائي موضوع في مجال مغناطيسي منتظم[8].

1-4 عزم الازدواج على حلقة يمر بها تيار في مجال مغناطيسي منتظم
Torque on a Current Loop in a Uniform Magnetic Field
كما ان القوة المغناطسية تؤثر على سلك يمر به تيار وموضوع في مجال مغناطيسي خارجي، فان القوة المغناطيسية تؤثر بقوة عزم ازدواج على حلقة يمر بها تيار موضوعة في مجال مغناطيسي خارجي.
على فرض حلقة مستطيلة من سلك موصل يمر به تيار Iفي المستوي xyوموضوع في مجال مغناطيسي B ?=Bi ? موازي لمستوى الحلقة كما في الشكل 11.


الشكل (11):a- حلقة مستطيلة من سلك موصل يمر به تيار موضوع في مجال مغناطيسي،b- القوى المغناطيسية تؤثر على الضلعين 1 و 2.
من المعادلة 10 يمكن ان نرى بان القوى المغناطيسية المؤثرة على الضلعين 1 و 3 تتلاشى والسبب في ذلك ان متجهات الطول (l_1 ) ?=-bi ? و (l_3 ) ?=bi ? تكون متوازية وضد المتوازية لـ B ? وحاصل الضرب الاتجاهي لها يكون صفر. ومن جهة اخرى فان القوى المغناطيسية المؤثرة على الضلعين 2 و4 لا تساوي صفر وكالتالي:
F ?_2=I(-aj ? )×(Bi ? )=IaBk ?
F ?_4=I(aj ? )×(Bi ? )=-IaBk ?(10)
ومن الرسم يتبين ان F ?_4 تشير الى خارج الصفحة بينما تشير الى داخل الصفحة F ?_2 ولهذا يكون حاصل القوه على الحلقة المستطيلة صفر.
F ?_net=F ?_1+F ?_2+F ?_3+F ?_4=0 ?(11)
وعلى الرغم من ان صافي القوة على الحلقة يكون صفرا، الا ان القوتين F ?_4 و F ?_2 سوف تنتجان عزم ازدواج(Torque) يسبب دوران الحلقة حول المحور y كما موضح بالشكل 12. ان عزم الازدواج بالنسبة الى مركز الحلقة فيكون :

? ?=IabBj ?=IABj ? (12)

حيث ان A=ab تمثل مساحة الحلقة والإشارة الموجبة تدل على ان الدوران يكون عكس عقرب الساعة حول المحور. ومن المناسب كتابة متجه المساحة بالصيغة A ?=An ? حيث ان n ? هي وحدة المتجه باتجاه عمودي على مستوي الحلقة. والاتجاه الموجب لـ n ? يعبر عنه بقاعدة ابهام اليد اليمنى. وفي هذه الحالة n ?=+k ?. العلاقة اعلاه يمكن ان تكتب كالاتي:
? ?=IA ?×B ? (13)
ويلاحظ ان اقصى قيمة لعزم الازدواج تنتج عندما يكون B ? موازي لمستوى الحلقة ( او عمودي على A ?).


الشكل (12): دوران تيار الحلقة المستطيلة [3].

ويمكن كتابة صيغة اكثر عموما وهي ان المجال المغناطيسي يعمل زاوية مع مستوى الحلقة، وفي هذه الحالة ودون الدخول في التفاصيل [البرهان في المصدر 3 ص844] يكون صافي عزم الازدواج كالتالي:
? ?=IabB sin?? j ?=IA ?×B ?(14)
ولحلقة تتألف من N من الدورات، فان قيمة عزم الازدواج هي:
?=NIAB sin?? (15)
الكمية NIA ? (حاصل ضرب متجه المساحة في التيار) تسمى بعزم ثنائي القطب المغناطيسيMagnetic dipole moment))او اختصاراً العزم المغناطيسي الذي يرمز له بالرمز ? ?، بعباره اخرى:
? ?=NIA ? (16)
واتجاه العزم المغناطيسي هو نفس اتجاه متجه المساحة (عمودي على مستوى الحلقة)، ويعين باستعمال قاعدة ابهام اليد اليمنى كما موضح في الشكل 13، اما وحدات? ? فهي الامبير مضروبا بالمتر مربع (A.m2)، وباستعمال المعادلة 16 يمكن كتابة عزم الازدواج (المعادلة 15) بالصيغة التالية:
? ?=? ?×B ?(17)
بالرغم من ان المعادلة (17) تم الحصول عليها لحالة خاصة، الا ان هذه المعادلة صحيحة مهما كان شكل الاطار ومادام مستويا وموازيا لكثافة التدفق المغناطيسي.






الشكل (13): قاعدة ابهام اليد اليمنى لتحديد ? ?.

و يمكن حساب الشغل اللازم لتدوير ذو القطبين المغناطيسي من الزاوية ?_0 الى الزاوية ? كالاتي:
W_ext=?_(?_0)^???? d(?=) ? ? ?_(?_0)^???(?Bsin(?)) ? d(?=) ? ? ?B(cos?_0-cos?)
= ?U=U-U_0(18)
حيث ان W_ext=-W ،حيث W هو الشغل المنجز بواسطة المجال المغناطيسي.
كما ويمكن بصورة مماثلة حساب طاقة الوضع ( الطاقة الكامنة):
U=?_(?_0)^???? d?=? ?_(?_0)^???Bsin?d?=?B(cos?_0-cos?)(19)
وحيث ان طاقة الوضع ( الطاقة الكامنة) U_0=0 عندما تكون ?_0=?/2 ، نجد ان:
U=- ?B cos?=-? ?.B ?(20)
وهذه المعادلة تدل على النظام يمتلك اقل طاقة U_min=- ?Bعندما تشير? ? باتجاه B ? . بينما يمتلك اعلى طاقة U_max=+ ?B عندما تشير? ?بعكس اتجاه B ?. كما ويلاحظ من المعادلتين (17) و(20) تعتمد على العزم المغناطيسي? وعلى المجال المغناطيسي الخارجي الذي حثه B.



امثلة للقراءة:
[المصدر]
[2]2-1 ص65،2-2 ص 67، 2-3 ص71
[3]5-29 ص846
[4]2-26 ص891، 3-26 ص892 ، 8-26 ص901،10-26 ص903
[5]Sample problemص 751 ، Sample problem ص 755
[6]1-27 ، 27-2 ص712 ،11-27 ص719
[7] 7-27 ص 900، 9-27 ،10-27 ص905





5-29 p.p(846)
A rectangular coil of dimensions 5.40 cm 3 8.50 cm consists of 25 turns of wire and carries a current of 15.0 mA.
A 0.350-T magnetic field is applied parallel to the plane of the coil.
(A) Calculate the magnitude of the magnetic dipole moment of the coil.
SOLUTION
Conceptualize The magnetic moment of the coil is independent of any magnetic field in which the loop resides, so it
depends only on the geometry of the loop and the current it carries.
Categorize We evaluate quantities based on equations developed in this section, so we categorize this example as a substitution
problem.
Use Equation 29.16 to calculate the magnetic moment: mcoil 5 NIA 5 (25)(15.0 3 1023 A)(0.054 0 m)(0.085 0 m)
5 1.72 3 1023 A ? m2
(B) What is the magnitude of the torque acting on the loop?
2-26 p.p(891)
A long segment of wire carries a current of in the direction. It
lies in a magnetic field of magnitude 0.020 T that is in the plane and makes an
angle of with the direction, as shown in Figure 26-9. What is the magnetic
force exerted on the wire segment?
PICTURE The magnetic force is in the direction of which we see from
Figure 26-9 is in the direction.

SOLVE
The magnetic force is given by
F = i L×B = I L B sin 30 k
(3.0 A)(0.0030 m)(0.020 T)(sin 30°)k
9.0 ×10-5 Nk