الأخطاء في العمليات الحسابية Errors in Arithmetic Operations

الأخطاء في العمليات الحسابية Errors in Arithmetic Operations
لتكن x* قيمة تقريبية لقيمة حقيقية x. يعرف الخطأ في القيمة التقريبية كالآتي:

كما ويسمى في أغلب الأحيان بالخطأ المطلق (Absolute Error) لتمييزه عن الخطأ النسبي (Relative Error). يعرف الخطأ النسبي بحاصل قسمة الخطأ المطلق على القيمة المضبوطة، أي:

وفي الغالب تكون قيمة x غير معلومة لذلك تستبدل قيمة x في التعريف السابق بالقيمة التقريبية x* فنحصل على:

من الواضح بأن الاختلاف بين الخطأ المطلق والنسبي يزول عندما تكون الأعداد قريبة من 1 ويتميز أكثر كلما ابتعدت من 1.
مثال 1:
لتكن 0.0007 قيمة تقريبية للقيمة المضبوطة 0.0008 أي إن:
X*=0.0007, X=0.0008,
فإن الخطأ المطلق يساوي:

وهو صغير كما نرى، بينما تكون قيمة الخطأ النسبي:

أي أن الخطأ النسبي يساوي %12.5 وهو كبير مقارنة وهو كبير مقارنة بالخطأ المطلق وهذا يحدث عادة عندما تكون قيمة x صغيرة.
مثال 2:
ليكن x*=9950، x=1000 فإن:
ex= x-x*=50
بينما يكون:

أي إن الخطأ النسبي يساوي %0.5 وهو صغير مقارنة مع الخطأ المطلق.
لتكن x*، y* قيمتين تقريبيتين للعددين x، y بخطأ مطلق xe، ye وخطأ نسبي على التوالي، فيما يأتي نعطي تحليلاً للخطأ المطلق والنسبي في ناتج كل عملية من العمليات الحسابية الأربع بدلالة الخطأ في القيم التقريبية: