نظرية المعادلات التفاضلية-المحاضرة التاسعة عشر- مبرهنة الوجود لكوشي وبيانو

(1-10 ) اعتماد الحلول على الشروط الابتدائية والمتغير الوسيط
Dependence of solutions on initial conditions and parameter
الحل لمعادلة تفاضلية على هو دالة ليس فقط بالمتغير المستقل ولكنها تعتمد على احداثيات الشروط الابتدائية . فمثلا اذا كانت حلا لمعادلة تفاضلية على الفترة وتحقق فعندئذ دالة تعتمد على والمثال التالي يوضح الفكرة.
مثال :
لتكن مع الحل لهذه المسالة هو

واضح ان دالة تعتمد .
لذلك نحتاج الى دراسة سلوك الحل بتغير الشروط الابتدائية المفروضة عليه والمبرهنة التالية تبين لنا تاثير هذا التغير الى الحل.
مبرهنة 9.1 :
لتكن دالة مستمرة وتحقق شرط ليبشتز على المنطقة في المستوي وافرض ان حلا للمسالة :
مع على الفترة . عندئذ يوجد عدد موجب بحيث ان لاية نقطة في والمعرفة

يوجد حل وحيد للمعادلة
والذي يحقق الشرط الابتدائي واضافة الى ذلك مستمرة على حيث ان

البرهان:
خذ بحيث ان المعرفة

تقع في وافرض ان عدد يحقق :

حيث ان هو ثابت و هذا يعرف كما جاء في منطوق هذه المبرهنة. لتكن بتطبيق المبرهنة 4.1 يمكن ايجاد دالة معرفة على تحقق:

بما ان حل للمسالة (B) على فان

ومن 1و2 نحصل على

وباستخدام مبرهنة كرونول في 3 ينتج

وهذه تبرهن ان وبتطبيق المبرهنة 7.1 نجد ان قابلة للتوسيع على الفترة .
لكي نبرهن مستمرة على نعرف المتتابعة بالشكل التالي :


ونبرهن ان لكل

من 4 نجد ان

لذا فان بما ان مستمرة على فان مستمرة على ايضا.
بفرض في 4 واستخدام 2 نحصل على

ايضا من 2 و4 نجد ان


وهذه تبرهن .
بما ان مستمرة على لذلك تكون مستمرة على وهكذا بالاستنتاج الرياضي يمكننا ان تبرهن ان لكل فان و مستمرة على .لكي نبرهن تقترب من علينا ان نبرهن المتراجحة التالية بالاستنتاج الرياضي: