نظرية المعادلات التفاضلية-المحاضرة السابعة عشر- مبرهنات الوجود والوحدانية الشاملة

1-9 مبرهنات الوجود والوحدانية الشاملة
Global Existence and Uniqueness Theorem
لقد وجدنا في المبرهنات 2.1 , 3.1 و 4.1 أن طول فترة الحل يعتمد على العدد وهو اصغر العددين كما جاء في منطوق هذه المبرهنات وفي المبرهنة 5.1 لاحظنا أن يجب أن يحقق شرط إضافي وهو وهذا يعني أن طول مقيد بشرط مفروضة عليه ولكن يمكن إزالة هذه الشروط من وبذلك تنتج لدينا مبرهنات تضمن لنا وجود الحل في فترات واسعة غير مشروطة تسمى هذه مبرهنات الوجود والوحدانية الشاملة . وسوف ندرس مبرهنة واحدة من هذه المبرهنات في هذا البند مع إعطاء بعض الامثله.
توسيع فترة الحلول: Continuation of Solution
لقد لاحظنا في المبرهنة 2.1 أن مخطط الحل يمر من النقطة والتي هي مركز المستطيل ويقع كليا في داخلها لكن تحت شروط معينة يمكن توسيع مدى هذا الحل بحيث أن مخططه يغادر المنطقة المستطيلة وبذلك يمكن إيجاد حلول أخرى للمسالة (B) مداها ومخططاتها أوسع من الحل السابق وهذه العملية تسمى بتوسيع فترة الحلول وسوف ندرس هذا الموضوع في هذا البند ونبرهن بعض المبرهنات المتعلقة بها.
تعريف 13.1:
لتكن حلا للمسالة (B) على الفترة التي تحوي النقطة إذا كانت فترة أخرى تحوي (أي إن ) وان حلا للمسالة (B) على وبشرط إن ولكل عندئذ نقول إن قابلة التوسيع على الفترة ويقال إن توسيع على إما إذا كانت غير قابلة التوسيع فعندئذ تسمى بالحل الأوسع Maximal Solution
مبرهنة 6.1 :
لتكن دالة مستمرة على المنطقة التي تحوي النقطة عندئذ توجد النقطة ودالة معرفة على تكون حلا للمسالة (B) .
البرهان:
بما إن منطقة مفتوحة لذلك توجد منطقة دائرية مركزها ونصف قطرها بحيث إن . لتكن أية منطقة مستطيلة مغلقة مرسومة داخل باستخدام البرهنة 2.1 يمكن إيجاد معرفة على الفترة تحوي النقطة (واجب) ومحتواه في المستطيلة وتكون حلا للمسالة (B).

مبرهنة 7.1:
لتكن دالة مستمرة على المنطقة ومقيدة بالعدد غير السالب إذا كانت حلا للمسالة (B) على الفترة فان

موجودتان.
(ii) إذا كانت أو في فان قابلة التوسيع على أو حيث إن عدد موجب اختياري.

البرهان :
بما إن حل للمسالة (B) على لذا فان

(i) لتكن أية نقطتين في بحيث أن
(البرهان لا يختلف في حالة ) عندئذ من (1) نجد أن

وعندما تقتربان من فان
والتي تؤدي إلى وجود وبالمثل تكون موجودة.
(ii) سوف نبرهن قابلة التوسيع على الفترة والبرهان على الفترة يكون بالطريقة نفسها.
افرض و دالة معرفة بالشكل التالي :

عندئذ تكون

أي ان حلا للمسالة (B) على بما ان بموجب المبرهنة 6.1 توجد دالة تكون حلا للمسالة (B) على الفترة عليه

لتكن دالة معرفة على النحو التالي :

عندئذ تكون حلا للمسالة (B) على . ولبرهان هذه من تعريف نجد أن

وبموجب (2) و(3) نحصل على

وهكذا تكون


وهذا يبرهن بان حل للمسالة (B) على الفترة وتسمى توسيع الحل على .