نظرية المعادلات التفاضلية-المحاضرة الرابعة عشر- اختبار ويريستراس

مثال:لتكن


1- هل أن مسالة القيمة الابتدائية (1) تحقق شروط المبرهنة بيكارد؟
2- إذا كان جوابك نعم اوجد الفترة .
3- اوجد قيمة ثابت ليبشتز على .
4- اكتب المسالة (1) بصيغة المعادلة التكاملية (C).
5- اوجد تقريبات بيكارد .
6- ارسم مخططات .
الحل :
بما أن هي متعدد حدود لذا فإنها مستمرة على المستوي وبذلك تكون مستمرة على .
ايضا من (1) نجد

لكل وهذا يعني أن مقيدة على .لتحقيق شرط ليبشتز نأخذ أية نقطتين وبتعويض هاتين النقطتين في الدالة ينتج :

وهذه تبرهن أن تحقق شرط ليبشتز على وبثابت قدره 36 . نستنتج بان تحقق شروط المبرهنة 4.1 لبيكارد.
2- بما أن هو اصغر العددين حسب ما جاء في مبرهنة بيكارد, لذا فان
3- .
4- بمقارنة المسالة (1) مع المسالة (B) نجد أن

لذلك فالصيغة التكاملية لهذه المسالة هي :

وتقريبات بيكارد هي :

بوضع في العلاقة (2) نحصل على

و