مميز الحلقة التامة

مبرهنة:- لتكن (R,+,.) حلقة ذات عنصر محايد فان R يكون لها مميز n>0 إذا وفقط إذا كانn اصغر عدد صحيح موجب بحيث إن n1=0
البرهان:- n مميز الحلقة n هو اصغر عدد صحيح موجب بحيث ان n1=0
n مميز الحلقة
n1=0
نفرض إن 0<m<n وان m1=0
ليكن
ma=m(1.a)=(m1)a=0.a=0
m هو مميز الحلقة , وهذا يناقض اصغريةn
n هو اصغر عدد صحيح موجب بحيث إن na=0
وبصورة معاكسة ليكن
na=n(1a)=(n1)a=0a=0
من الفرض إن n هو اصغر عدد صحيح موجب بحيث إن n1=0
n هو اصغر عدد صحيح موجب بحيث إن na=0
n هو مميز الحلقة
مثال:- تأمل الحلقة (Zn,+n,.n)
n هو اصغر عدد صحيح موجب بحيث ان n[1]=[n]=[0]
مميزها n
ملاحظة:- الحلقة (Zn,+n,.n) تكون حلقة تامة إذا وفقط إذا كان n عدد أولي
تعريف: الحلقة التامة هي الحلقة الخالية من قواسم الصفر
مبرهنة:- مميز الحلقة التامة أما أن يكون صفر أو عدد أولي ؟
البرهان:- لتكن (R,+,.) حلقة
أما مميزها 0 أو عدد صحيح موجب n
إذا كان مميزها عدد صحيح موجب n
نفرض إن n عدد غير أولي
يوجد عددان صحيحان 1<n1,n2<n وان n=n1n2

(R,+,.) خالية من قواسم الصفر
أما n1.1=0 أو n2.1=0
وهذا يناقض اصغري n بحيث إن n.1=0
n عدد أولي
مسائل:- س2)ب)a.b=0
س8)ب) إذا كان وله معكوس ضربي برهن إن وحيد؟