نظرية المعادلات التفاضلية-المحاضرة الحادية عشر- مأخوذة كرونول

مأخوذة 7.1 (مأخوذة كرونول Grown Wall s lemma)
لتكن دوال مستمرة وغير سالبة في الفترة I إذا كان آية نقطة في I بحيث أن

(1-7) مبرهنات الوجود والوحدانية الموقعية Local Existence and Uniqueness Theorems.
بعد اضافة شرط ليبشتز على الدالة في مبرهنات الوجود الموقعية نحصل على مبرهنات تضمن لنا وجود وحدانية الحل لمسالة قيمة ابتدائية (B) وهذه المبرهنات تدعى مبرهنات الوجود والوحدانية الموقعية وسوف نبرهن بعض هذه المبرهنات وباستخدام طرق مختلفة.
مبرهنة 3.1 : مبرهنة الوجود والوحدانية (كوشي – بيانو):
لتكن دالة مستمرة على وتحقق شرط ليبشتز و هو قيد لها إذا كان هو اصغر العددين عندئذ توجد دالة معرفة على الفترة تكون حلا وحيدا للمسالة (B) على .
البرهان:
بما ان جميع شروط المبرهنة 2.1 متوفرة في هذه المبرهنة لذلك تكون حلا للمسالة (B) على الفترة .
نفرض ان هي حل اخر لهذه المسالة باستخدام الماخوذه 3.1 تكون حلين للمعادلة التكاملية (C) على أي ان

و

من المعادلتين (1) و(2) نجد ان

وبتطبيق شرط ليبشتز في الطرف الايمن من (3)

حيث أن L هو ثابت ليببشتز.
بما أن دالتان مستمرتان في و عدد غير سالب لذا فان شروط مأخوذة كرونول تتحقق في المتراجحة (4) .
ومنها نستنتج أن

أي أن