مبداء التوزيع المتساوي للطاقه

مبدا التوزيع المتساوي للطاقة
اذا امكن ان نعبر عن طاقة الوحدة بشكل مربعات الاحداثيات (احداثيات فضاء الطور) فان معدل الطاقة المصاحبة لكل احداثي مربع هو 1/2 KT
1- ان معدل طاقة وحدة النظام المثالي هي ?=p^2/2m=(p_x^2)/2m+(p_y^2)/2m+(p_x^2)/2m
اذن حسب مبدأ التوزيع المتساوي للطاقة تكون الطاقة المصاحبة لكل احداثي هو ?=1/2 KT
? ?=1/2 KT+1/2 KT+1/2 KT=3/2 KT
2- لنظام يتكون من متذبذبات بسيطة مستقلة كل منها يتذبذب بثلاثة ابعاد فان طاقة المتذبذب الواحد هي
?=1/2 mv_x^2+1/2 mv_y^2+1/2 mv_z^2+1/2 ?x^2+1/2 ?y^2+1/2 ?z^2
حسب التوزيع المتساوي للطاقة فان ?=6×1/2 KT=3/2 KT
3- نبرهن على ان معدل الطاقة المصاحبة لحركة وحدة نظام مثالي مقيده باتجاه (X) هو? ?=1/2 KT

¯Y=(?_?^.??Y(X,P)? F(X,P)d?)/(?_?^.??F(X,P)d??) ,F(X,P)d?=dn/N

نعوض عن قيمةF في المعادلة
F(X,P)d?=dn/N
¯Y=(?_?^.??Y(X,P)dn/N? d?)/(?_?^.??dn/N d??)=(?_?^.??Y(X,P).e^(-E_s/KT) ? d?)/(?_?^.??e^(-E_s/KT) d??)
? ?_x=((p_x^2 ) ?/2m)=(?????????????(p_x^2)/2m e^(-(p_x^2+p_y^2+p_z^2)/2mKT) dxdydzdp_x dp_y dp_z ?)/(?????????????e^(-(p_x^2+p_y^2+p_z^2)/2mKT) dxdydzdp_x dp_y dp_z ?) (60)
نحصل من هذا المقدار على ست تكاملات خمس متماثلة فنحذفها ويبقى واحد هو

? ?_x=((p_x^2 ) ?/2m)=(?_(-?)^???(p_x^2)/2m e^(-(p_x^2)/2mKT) dp_x ?)/(?_(-?)^???e^(-(p_x^2)/2mKT) dp_x ?) (61)
هذا التكامل من نوع كاما يمكن كتابته بالصيغة التالية
? ?_x=(1/2m ?_(-?)^???p_x^2 e^(-ap^2 ) dp_x ?)/(?_(-?)^???e^(-ap^2 ) dp_x ?)
1/2m ?_(-?)^???p_x^2 e^(-ap^2 ) dp_x ?=1/(2(?)^((n+1)/2) ) ?((n+1)/2)=1/(2(?)^(3/2) ) ?(3/2)=1/(2(1/2mkT )^(3/2) )*??/2
?_(-?)^???e^(-ap^2 ) dp_x ?=1/(2?^(1/2) ) ??=1/(2(1/2mkT )^(1/2) ) ??

نعوض المقدارين في المعادلة (61 ) فنحصل على
? ?_x=(?(2mkT)?^(3/2) ??)/8m*2/((2mkT)^(3/2) ??)=1/2 KT



5-دالة التجزئة
من احتمالية التوزيع لحصاء ماكسويل يمكن اشتقاق دالة التجزئة
w=Ni?_1^s??((g_s^(n_s ))/(n_s !)?)
log?W=Nlog??N-N?+?_s??n_s log??g_s-?_s?n_s log??n_s ? ? ?+?_s?n_s
log?W=Nlog?N+?_s??n_s (log??g_s-log??n_s)? ? ?
log?W=Nlog?N+?_s??n_s log??g_s/n_s ? ? (62)
n_s=g_s e^((?+??_s))?n_s/g_s =e^((?+??_s))?g_s/n_s =e^(-(?+??_s))