تطبيقات احصاء ماكسويل

-تطبيقات إحصاء ماكسويل - بولتزمان
1- حساب معدل الصفات والأنظمة
لحساب معدل صفات الوحدات والأنظمة نعرف دالة الاحتمال F(X,P)
الوحدات في النظام تكون في حالة عشوائية
مستمرة في الفضاء






الدالة F(X,P) هي احتمالية ايجاد نقطة التي تمثل حالة وحده ضمن حجم فضاء الطور d?
F(X,P)d?=dn/N (47)
dn_s=Bd?e^(?+??_s )
F(X,P)d?=(Bd?e^(?+?E_s ))/N (48)

مثال / اثبت ان ?=?_i^N?F_i =?((e^? ?)/N)?^N e^(-??KT)
Fd?=dn/N
dn/N=(Bd?e^(?+??_s ))/N
?=?_i^N?F_i =F_1 F_2 F_3………F_N
??d??_6N=(??d??_1)/N e^?.e^(??_1 )*(??d??_2)/N e^?.e^(??_2 )*(??d??_3)/N e^?.e^(??_3 )
e^?.e^?.e^?………..=?(e^?)?^N
(?/( N)).(?/( N)).(?/( N))……….=(?/( N))^N
?=?((e^? ?)/N)?^N e^(-??KT)

لحساب معدل صفة من صفات الوحدات )مثلا الصفة Y)هو
¯Y=(?_?^.??¯Y(X,P)? F(X,P)d?)/(?_?^.??F(X,P)d??)=(?_i?Yi)/(?_i??(Fi@.)) (49)
نعوض عن قيمةF في المعادلة
F(X,P)d?=dn/N
F(X,P)=(Be^(?+??_s ) d?)/N
¯Y=(?_?^.??¯Y (X,P) B/N e^?.e^(??_s ) ? d?)/(?_?^.??B/N e^?.e^(??_s ) d??)=(?_?^.??¯Y (X,P).e^(-?_s/KT) ? d?)/(?_?^.??e^(-?_s/KT) d??)

2-إيجاد صفات الغاز المثالي
من معادلة توزيع ماكسويل –بولتزمان
n_s=g_s e^(?+??_S )
dn_s=Bd?e^(?+??_s )
سوف نكتب dn بدلالة الزخم والطاقة والسرعة
dn=n_p (p)dp ,dn=n(E)dE , dn=n_v (v)dv
p=p+dp , E=E+dE , V=V+dV
الان يمكن استخراج العلاقات التالية
1- dn=n_p (p)dp =4?N/?(2?mKT)?^(3/2) e^(?-P?^2/2mKT) p^2 dp (50)


2-n_v (v)dv=4?N?(m/2?k)?^(3/2) e^(-(mv^2)/2kT) v^2 dV (51)


3-? n?_((?)) d?=2?N/(?KT)^(3/2) *e^(-?/KT) ?^(1/2) d? (52)

?1-n?_p (p)dp=4?p^2 dp*VB N/((2?KTm)^(3/2).VB) ? e ?^(?-P?^2/( 2m KT))


n_p (p)dp= ? e ?^(?-P?^2/( 2m KT)) p^2 dp
نكتب هذه المعادلة بدلالة السرعة
p=mv ,p^2=m^2 v^2,dp=mdv
n_v (v)dv=4?N/(2?KTm)^(3/2) e^(-(mv^2)/2kT) ?m^2 v?^2.mdV=4?N/(2?KTm)^(3/2) ?m^3 e?^(-(mv^2)/2kT) v^2 dV
??n?_v (v)dv=4?N?(m/2?kT)?^(3/2) e^(-(mv^2)/2kT) v^2 dV
الان نحول الاحداثيات الكروية الى الاحداثيات الاسطوانية و كما يلي
4?v^2 dV=dv_x dv_y dv_z
فتصبح المعادلة أعلاه
n_v (v)dv=N?(m/2?kT)?^(3/2) e^(-(m(v_x^2 v_y^2 v_z^2))/2kT) dv_x dv_y dv_z
نكتب هذا المقدار بدلالة مركبات السرعة وكما يلي
n_v (v)dv=n_3 (v_x v_y v_z)?dv?_x ?dv?_y ?dv?_z
كتبت بصيغة مركبات السرعة لسبب انه كم وحدة بالنظام تمتلك مركبة سرعة في لحظة معينة باتجاه X في مدى v_X?v_x+?dv?_x
يمكن إيجاد عدد الوحدات n(v_x )dv_x من المعادلة رقم (50)