المحاضرة الثانية والعشرون

65
Harmonic Functions
x y x , y h (x , y )
h
0 2
2
2
2
?
?
?
?
?
?
y
h
x
h
Laplace s Equation
D f (z) = u ( x , y ) + i ( x , y )
D u, v
f ( x , y ) = ex cos y
cos ( cos ) 0
cos ; sin
cos ; cos
2
2
2
2
2
2
2
2
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?
?
?
?
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e y e y
y
f
x
f
e y
y
e y f
y
f
e y
x
e y f
x
f
x x
x x
x x
f
f
f ?
D f (z) = u ( x , y ) + i ( x , y ) ???? ? ظ???
u,v
Harmonic Conjugate
D v ( x , y ) , u ( x , y )
v ( x , y ) f (z) = u ( x , y ) + i ( x , y )
u (x, y )
u ( x , y ) = ex cos y v ( x , y )
66
u ( x , y )
uyy = - ex cosy , uy = - ex sin y , uxx = ex cosy , ux = ex cosy
? uxx + uyy = 0
ux = ex cosy = vy
? V ? ?v dy ? (x) ? ? e x cos ydy ? (x) ? e x ? cos y dy ? (x)
y ? ? ?
x y
? v = ex sin y + ? ( x )
x ? ( x )
x x
y
u
?
v ?? x = - uy
1
/
/
/
( )
( ) 0
sin ( ) sin
sin ( ) ( ( sin ))
x c
x
e y x e y
v e y x u e y
x x
x
y
x
x
?
? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
c1
v = ex sin y + c1 ?
e c
e c
e e c
e y i y i c
f z e y i e y c
z
x i y
x i y
x
x x
? ?
? ?
? ?
? ? ?
? ? ?
?
1
1
( cos sin )
( ) cos ( sin )
c = i c165
Harmonic Functions
x y x , y h (x , y )
h
0 2
2
2
2
?
?
?
?
?
?
y
h
x
h
Laplace s Equation
D f (z) = u ( x , y ) + i ( x , y )
D u, v
f ( x , y ) = ex cos y
cos ( cos ) 0
cos ; sin
cos ; cos
2
2
2
2
2
2
2
2
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
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?
?
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?
?
?
?
?
e y e y
y
f
x
f
e y
y
e y f
y
f
e y
x
e y f
x
f
x x
x x
x x
f
f
f ?
D f (z) = u ( x , y ) + i ( x , y ) ???? ? ظ???
u,v
Harmonic Conjugate
D v ( x , y ) , u ( x , y )
v ( x , y ) f (z) = u ( x , y ) + i ( x , y )
u (x, y )
u ( x , y ) = ex cos y v ( x , y )
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u ( x , y )
uyy = - ex cosy , uy = - ex sin y , uxx = ex cosy , ux = ex cosy
? uxx + uyy = 0
ux = ex cosy = vy
? V ? ?v dy ? (x) ? ? e x cos ydy ? (x) ? e x ? cos y dy ? (x)
y ? ? ?
x y
? v = ex sin y + ? ( x )
x ? ( x )
x x
y
u
?
v ?? x = - uy
1
/
/
/
( )
( ) 0
sin ( ) sin
sin ( ) ( ( sin ))
x c
x
e y x e y
v e y x u e y
x x
x
y
x
x
?
? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
c1
v = ex sin y + c1 ?
e c
e c
e e c
e y i y i c
f z e y i e y c
z
x i y
x i y
x
x x
? ?
? ?
? ?
? ? ?
? ? ?
?
1
1
( cos sin )
( ) cos ( sin )
c = i c1