العلاقة بين CP و CV للغاز المثالي

لو وضع الغاز داخل مكبس متحرك مساحة المكبس (A) وازيح مسافة مقدارها (dx) نتيجة لتزويد الغاز بكمية من الحرارة مقدارها (dQ) وهذا يعني ان حجم الغاز قد ازداد من V الى (dV) نتيجة ارتفاع درجة الحرارة من T الى ( dT ) فأن القوة التي يسلطها على المكبس يساوي ( PA) والتي ستنجز شغلا ( Dw)
dW = PAdx = PdV ……………… (1)
كمية الحرارة ( dQ) ستؤدي الى رفع درجة حرارة مول واحد من الغاز درجة حرارية واحدة عند ثبوت الضغط
dQ= CP dt …………….. (2)
اما الحرارة اللازمة لرفع درجة حرارة مول واحد من الغاز درجة حرارية واحدة عند ثبوت الحجم فانها ستؤدي الى رفع طاقته الداخلية (dU)
du= CV dt ……………… (3)
باستخدام القانون الاول للثرموداينمك
dq= du+dw ……………… (4)
CP dt=CV dt+ PdV ………………(5)
وعندما نطبق القانون العام للغاز المثالي لمول واحد من الغاز
PV= RT ………………(6)
P(V+dv) =R(T+dt) ………………(7)
PdV=RdT ………………(8)
CP dt=CV dt+ RdT ………………(9)
بالتعويض بالمعادلة (5) نجد ان
CP - CV = R ………………(10)
والتي تساوي (8.314 J/K. mole) او تقريبا تساوي (2 cal/K. mole) وهكذا نجد ان CP اكبر من CV بحوالي (2cal/K.mole)


مثال/
جد الحجم الذي يشغله جزيء كيلو غرامي واحد من غاز النتروجين عند الظروف القياسية من ضغط ودرجة حرارة علما ان الكتلة الجزيئية تساوي 28
الحل/
P= 1*105 N/m2
T = 273 K
PV=nRT
V= ; n=1; R= 8314 J/kg.mole.K
V= = 22.4 m3
مثال/
جد قيمة الثابت العام للغازات باستخدام معلومات المثال السابق
الحل/ من قانون الغاز المثالي PV=nRT
وبالتعويض عن قيم n, P, V, T نجد ان R=
R= = 8314 J/kg. mole. K