Trigonometric Substitutions

جامعة بابل / كلية التربية للعلوم الصرفة / قسم الرياضيات 11 ( رياضيات ) 20
Method [2]
Trigonometric Substitutions
If the integral involve one of the forms ???????+?+22222222,,,auuauauathen the substitutions as follows :
D - If 22ua? Let )(cos)sin(2222??auaau=??=
E - If 2222,uaua++ Let )(sec)tan(2222??auaau=+?=
sec2 = 1+tan2
F - If 22au? Let )(tan)sec(2222??aauau=??=
Evaluate ?+=dxxdxI24
Solution :- cxdxxdxI+=+=??)2(tan21412
Let ?????ddxxxx)(sec2)2(tan2)tan()tan(221=?=?=?=?
???+=+===+=?cxcdddI)2(tan212121)(sec4)(sec2)(tan44)(sec212222????????
Evaluate ???=232121dxx 1
جامعة بابل / كلية التربية للعلوم الصرفة / قسم الرياضيات 11 ( رياضيات ) 20
Solution :- 3)sin(2323)cos(6)sin(2121)sin(?????????=?=?==?=?=???==?xAtddxxAtx
??????+==?=363623622)2cos(1)(cos)cos()(sin1?????????????dddI
43)]3sin(216[)]32sin(213[21)2sin(212136+=???????+??+=??????+=???????????
Evaluate ??=dxxxI72
Solution :- ??????ddxxxx)tan()sec(7)7(sec7)sec()sec(71=?=?=?=?
????==?=?????????ddd(?I)1)((sec7)(tan7)tan()sec(7.)sec77)(sec7222 []cxxc+???????=+?=???)7(sec)]7(tan[sec7)tan(711??
Evaluate
Solution :
2
جامعة بابل / كلية التربية للعلوم الصرفة / قسم الرياضيات 11 ( رياضيات ) 20
EX : Evaluate
Solution : We set :
3sinx=??
39cos2x?=??
Then :
EX : Evaluate :
Solution : First we re-write the radical as :
3
جامعة بابل / كلية التربية للعلوم الصرفة / قسم الرياضيات 11 ( رياضيات ) 20
EXAMPLES : Evalute the following integrals by using trigonometric substitutions :
4
جامعة بابل / كلية التربية للعلوم الصرفة / قسم الرياضيات 11 ( رياضيات ) 20
5
جامعة بابل / كلية التربية للعلوم الصرفة / قسم الرياضيات 11 ( رياضيات ) 20
6