8

التحليل المركب /محاضرات خاصة للمرحلة الرابعة/ إعداد أ.م.د زاھر عبد الھادي حسن
2017- / جامعة بابل / كلية التربية للعلوم الصرفة /قسم الرياضيات 2018
? ??????????????
1- arg (Z1 . Z2) = arg Z1 + arg Z2
= ?1 + ?2
2- arg (Z1 / Z2) = arg Z1 - arg Z2 , Z2 ? 0
= ?1 - ?2
3- arg (1 / Z) = - arg Z , Z ? 0
= - ?
4- ?Z1 . Z2?= ?Z1?. ?Z2?= r1 . r2
5- , 0 2
2
1
2
1
2
1 ? ? Z ?
r
r
Z
Z
Z
Z
Proof (1) :
Let Z1 = r1 (cos ?1 + i sin ?1) & Z2 = r2 (cos ?2 + i sin ?2)
? Z1. Z2 = r1 r2 ?(cos ?1 + i sin ?1). (cos ?2 + i sin ?2)?
= r1 r2 ?(cos ?1 cos ?2 - sin ?1 sin ?2) + i (sin ?1 cos ?2 +
sin ?2 cos ?1)?
= r1 r2?cos (?1+ ?2) + i sin (?1+?2)?
يترك الباقي كواجب للطالب
ملاحظة مهمة/ نستنتج من خلال هذه القوانين بأنه عندما تكون هناك عملية ضرب للأعداد
المركبة فإننا نقوم بضرب أنصاف أقطار هذه الأعداد وبجمع زواياها، وعندما تكون عملية
قسمة فإننا نقسم أنصاف الأقطار ونطرح الزوايا.
Ex .: let Z1 = 1 + i , Z2 = 1 - i ? 3 find arg (Z1 . Z2)
Sol .: Z1 = 1 + i ? r1 = ? 2 , ?1 =
Z2 = 1 - i ? 3 ? r2 = 2, ?2 =
4
?
Since Z1. Z2 = r1 r2?cos (?1+ ?2) + i sin (?1+?2)?
3
??
? Z1. Z2 = 2 ? 2 ?cos ( + ) + i sin ( + )? 4
?
3
??
4
?
3
??
? arg (Z1 . Z2) = + =
? ?
4 3
??
?
12
13 ???????????????????????????
التحليل المركب /محاضرات خاصة للمرحلة الرابعة/ إعداد أ.م.د زاھر عبد الھادي حسن
2017- / جامعة بابل / كلية التربية للعلوم الصرفة /قسم الرياضيات 2018
يكون عدد مركب ( Z1 . Z س/ بدون استخدام الصيغة القطبية اثبت أن العدد المركب الناتج من( 2
2 ) و ا زوية هي ( ). ? هو( 2 ?r بنصف قطر
12??
???????????????
لإثبات أن: ( r , ?) استخدم الصيغة القطبية Z1 . Z2 ? بفرض أن 0 ?/ س 1
i (1-i? 3) (? 3 + i )=2 + i 2? س 2/ استخدم الصيغة القطبية لإثبات أن 3
Q3/suppose that Z1 . Z2 ? 0 use the polar form to show that
Q4/ Prove or disprove Arg (Z1. Z2) = Arg Z1 + Arg Z2
Hint: Z1 = -1 and Z2 = i
Q5/ Show that: ?Z1 + Z2?2 + ?Z1 - Z2?2 = 2( ?Z1 ?2+? Z2?2)
Q6/ Prove that ?2 ?Z ?? ?Re (Z) ?+ ?Im (Z) ?
Q7/ Prove that:
1)? ?Z1 ?- ?Z2 ?? ? ?Z1 + Z2? Hint: let ?Z1 ?= ?Z1 + Z2 + (-Z2) ?
?Z2 ?= ?Z2 + Z1 + (-Z1) ?
2)? ?Z1 ?- ?Z2 ?? ? ?Z1 - Z2? Hint: let ?Z1 ?= ?Z1 - Z2 + Z2
?Z2 ?= ?Z2 - Z1 + Z1 ?
Q8/ let Z1 = 1 + i, Z2 = ? 3 - i find arg (Z1 / Z2), sol. =
/ س 9
. Im أوجد قيمة z2= 1-i و z1 = 1+2i إذا كان
/ س 10
أوجد قيمة كل من z3 = i و z2= 1-i و z1 = 1+i إذا كان ??
?
??212
. Arg R
2,1,0,2212121?????????nnZZZZ???125?
14 ???????????????????????????