7

التحليل المركب /محاضرات خاصة للمرحلة الرابعة/ إعداد أ.م.د زاھر عبد الھادي حسن
2017- / جامعة بابل / كلية التربية للعلوم الصرفة /قسم الرياضيات 2018
( Polar Coordinates ) الإحداثيات القطبية
التي تقابل العدد المعقد غير الصفر p إحداثيات قطبية للنقطة ? ، ( r ? لتكن ( 0
Z = x + iy x = r cos ? , y = r sin ? لما كان
و ?? ھ r ي?? دد الحقيق ?? أن الع Z = r ( cos ? + i sin ?) صيغة ?? ه بال ?? ادة كتابت ?? ن أع ?? يمك Z فأن العدد المعقد
( Z د???? دد المعق ???? ة الع ???? سمى زاوي ???? ي ? ي???? دد الحقيق ???? والع r = أي أن Z ل???? ذي يمث ???? ه ال ???? ول المتج ???? ط
? = arg Z يكتب argument of Z)
Z
اه ?? ب باتج ?? ور الموج ?? ع مح ?? م Z ه?? صنعھا المتج ?? ي ي ?? ة الت ?? ي الزاوي ?? ھ ? أي الزاوية Z أن زاوية العدد المعقد
ر ?? دد غي ?? ع ? ل?? أن لك ?? ك ف ?? ى ذل ?? ساعة، وعل ?? باتجاه عقارب ال (- ?) عكس عقارب الساعة وبذلك ستكون
منته من القيم الحقيقية تختلف عن بعضھا بمضاعفات 2 ويمكن أيجاد ھذه القيم
من المعادلة
حيث أن arg Z = ? + 2k ? يمكن كتابتھا بالصورة ? أي أن الزاوية
xy??tan
k?Z (k = 0, ?1, ?2,…) صورة ?? ون مح ?? ب وتك ?? دد المرك ?? ة للع ?? غر زاوي ?? ا أص ?? بأنھ ? ة?? ر الزاوي ?? وتعتب
-? ? Arg ? ? ? الفترة ???? ة ب ???? ب الواقع ???? دد المرك ???? ة للع ???? ر زاوي ???? ا اكب ???? أم ، -? ? arg Z ? ? الفترة ???? ب
الفترة ???????? ة ب ???????? ب الوقع ???????? دد المرك ???????? ة للع ???????? ر زاوي ???????? ي اكب ???????? ب) وھ ???????? دد المرك ???????? ية للع ???????? ة الأساس ???????? سمى (الزاوي ???????? وت
. ?-? , ? ?
وعليه تكون arg Z أي أن الزاوية الأساسية للعدد المركب ھي القيمة الوحيدة ل
+ 2k ? Z Arg arg Z = arg Z = ? + 2k ? أو
k = 0, ?1, ? وان…, 2
Y
P ( x , y )
r
y
?
X
0
x
11 ???????????????????????????
التحليل المركب /محاضرات خاصة للمرحلة الرابعة/ إعداد أ.م.د زاھر عبد الھادي حسن
2017- / جامعة بابل / كلية التربية للعلوم الصرفة /قسم الرياضيات 2018
12 ???????????????????????????
ة ???? تخراج الزاوي ???? ى اس ???? نركز عل ???? وع وس ???? ذا الموض ???? ن ھ ???? يحية ع ???? ة التوض ???? ض الأمثل ???? ي بع ???? وف نعط ???? والآن س
الأساسية (فقط) للعدد المركب أثناء الحل.
y
Example: write in the polar form z =1 + i
Sol.: r =?Z?= ?x2+y2 = ?12 + 12 = ? 2
? = tan-1 = 45? =
? Z = r (cos + i sin )
(x, y) نلاحظ أن العدد المركب يقع في الربع الأول من خلال الانتباه إلى إشارة كل من
Ex.: write in the polar form 1- i ? 3
Sol.: r =?Z?= ?x2+y2 = ?12 + (-? 3)2 = ? 4 = 2
? = tan-1 = -
? Z = r (cos - + i sin - )
في ھذا المثال نلاحظ أن العدد المركب يقع في الربع الرابع من خلال الانتباه إلى إشارة كل من
أي أن الزاوية ھنا سوف تأخذ الاتجاه السالب. (x, y)
سالبة كانت إشارة الزاوية سالبة. (y) ملاحظة/ كلما كانت إشارة الجزء الخيالي
Exercise: write in polar form
1) Z = -1 - i
2) Z = -1 + i
3) Z = i
4) Z = - i
5) Z = 1
6) Z = -1
1 1
?
4
?
4 ?
4
x
?
(1,1)
?
-? 3
3
1
?
?
3
3