الاندراج والاستكمال-طريقة لاكرانج

الاندراج والاستكمال INTERPOLATION & EXTRAPOLATION
في الكثير من الأحيان تتوفر مجموعة من البيانات في نقاط متفرقة مثل (x0, y0)، (x1,y1)، ... (xn-1, yn-1)، (xn, yn). في هذه الحالة كيف يمكننا إيجاد قيمة y لقيمة أخرى لـ x غير موجودة في مجموعة النقاط المعروفة؟ في هذه الحالة يمكن استخدام دالة f(x) لتمثيل قيم البيانات التي عددها n+1، حيث تمر الدالة بكل النقاط المعلومة. لاحظ الشكل أدناه.
بعدها يمكن إيجاد قيمة y لأي قيمة أخرى لـ x. إذا كانت x واقعة ضمن مدى النقاط المعلومة سابقاً فإن عملية التخمين تسمى الاندراج Interpolation وإذا كانت النقطة واقعة خارج مدى هذه النقاط فإن العملية تسمى الاستكمال Extrapolation.
عادة ما تستخدم متعددة حدود كدالة اندراج f(x) وذلك لأن متعددات الحدود يمكن إيجاد قيمتها بسهولة كما يمكن اشتقاقها وإيجاد تكاملها. إن عملية توليد متعددة الحدود تتضمن إيجاد متعددة حدود ذات رتبة n والتي تمر عبر n+1 من نقاط البيانات.
إن الصيغة العامة لمتعددات الحدود هي:
P_n (x)=a_n x^n+a_(n-1) x^(n-1)+?+a_1 x+a_0
إن متعددات الحدود هي من الأدوات المفيدة والمهمة لأن أي دالة مستمرة يمكن تقريبها إلى متعددة حدود.
متعددة حدود لاكرانج Lagrange Interpolating Polynomial