الدوال الزائدية

5- الدوال الزائدية Hyperbolic Function












وان كثيرا" من الخواص المألوفة في حالة الدوال الزائدية الحقيقية تتحقق أيضا" في حالة الدوال الزائدية المركبة.
A- cosh2z - sinh2 z = 1
B- 1- tanh2 z = sech2z
C- coth2z -1 = csc2z
D- sin h (-z) = - sin h z
E- cos h (-z) = cos h z
F- tan h (-z) = - tan h z
G- sin h (z1 ? z2) = sin h z1 cos h z2 ? sin h z2 cos h z1
H- cos h (z1 ? z2) = cos h z1cos h z2 ? sin h z1 sin h z2
I- tan h (z1 ? z2) =

العلاقة بين الدوال المثلثية العادية والدوال الزائدية

A-sin (i z) = i sin h z
B- sin h (i z) = i sin z
C- cos (i z) = cos h z
D- cos h (i z) = cos z
E- tan (i z) = i tan h z
F- tan h (i z) = i tan z
G- sin z = sin x cos h y + i cos x sin h y
H- cos z = cos x cos h y – i sin x sin h y
I- ?sin z ?2 = sin 2 x + sin h 2y
J- ?cos z ?2 = cos 2 x + sin h 2y
K- sin z = 0 ? z = k? , k = 0 , ?1 , ?2 , …
L- cos z = 0 ? z = ?/2 + k? , k = 0 , ?1 , ?2 , …
M- sin h z = sin h x cos y + i cos h x sin y
N- cos z = cos h x cos y + i sin h x sin y
O- ?sin h z ?2 = sin h 2 x + sin 2y
P- ?cos h z ?2 = cos h 2 x + cos2y

والآن سوف نبرهن بعض من تلك العلاقات
Proof G:
T. p. sin z = sin x cos h y + i cos x sin h y











برهان H بنفس الطريقة (واجب) ، والآن سوف نبرهن المتطابقة I.
Proof I:
T .p. ?sin z ?2 = sin 2 x + sin h 2y
حسب المتطابقة G ? ?
?sin z ?2= ? sin x cos h y + i cos x sin h y ?2
= sin2 x cos h2 y + cos2 x sin h2 y
= sin2 x (1+ sin h2 y) + (1- sin2 x) sin h2 y
= sin 2 x + sin h 2y
وبرهان J بنفس الطريقة.
Proof K :
T .p. sin z = 0 ? z = k? , k = 0 , ?1 , ?2 , …
Sin z = 0 ? sin2x + sin h2 y = 0
أي أن كل من
Sin x = 0 & sin h y = 0
وبذلك فان y = 0 , x = k? , k = 0 , ?1 , ?2 , …
مثــال: أثبت أن

الحــــل

……… (1)
………. (2)
وبالتالي نحصل على (1) تساوي (2)