بعض صفات الدالة الاسية

بعض صفات الدالة الاسية
A) القيمة المطلقة للدالة الاسية هي | e z | = e x
B) زاوية الدالة الاسية هي: arg (e z) = y + 2n? (n = 0, ± 1, ± 2, ….)
(حيث y مقاسة بالتقدير الدائري)
C) إن الدالة w = e z لا تساوي صفر لأية قيمة من قيم z .
D) أن الدالة الاسية دورية بمقدار i 2 ? لأن النسبتين sin y, cos y دالتان دوريتان بمقدار2? ، أي أن e z= e z + 2k?i
E) إن الدالة w = e z هي دالة غير متباينة وسوف نوضح ذلك من خلال المثال التالي:
مثال: جد حلول المعادلة e z = z0حيث z0 ? 0 .
الحـل :
ليكن z = x + iy وz0 = r0ei ?0
وبالتعويض نحصل على ex e iy = r0ei ?0 = r0 ? ex ،y = ?0 + 2k?i ( k = 0 , ± 1 , ± 2, … ) حيث أن x = ln r0
وبهذا تكون الحلول هي ( ?0 + 2k? ln r0 + i( z = وان k هو عدد صحيح ( أي ان هناك عدد لا نهائي من الحلول للمعادلة أعلاه وعليه فانه يتضح من هذا المثال بان الدالة الاسية هي دالة منطلقها جميع نقاط المستوي z ومداها يمثل جميع نقاط المستوي w عدا نقطة الأصل وان هذه الدالة غير متباينة ؟ لان كل النقاط لها صورة واحدة z0 في المستوي w .
ملاحظـة(1) / إذا كان a عدد صحيح موجب فان e z ln a= a z وتسمى دالة أسية عامة.
ملاحظة(2)/ اذا كان c أي عدد عقدي ثابت و z?0 تعرف الدالة zc = ec log z
وهي دالة متعددة القيم.

4- الدالة اللوغارتمية The Logarithmic Function
تعرف الدالة اللوغارتمية بأنها معكوس الدالة الاسية
w = log z ? z = e w
since w = u + iv , z = x + iy
z = e u + iv = e u (cos v + i sin v )

وحسب صيغة اويلر? ?
z = r (cos ? + i sin ?)
z = r (cos ? + i sin ?) = e u (cos v + i sin v )
? e u = r , v = ? + 2k? , k = 0 , ?1 , ? 2 ,…
? u = ln r , v = ? + 2k? , k = 0 , ?1 , ? 2 ,…
وبتعويض u, v في w نحصل
w = ln r + (? + 2k?)i


Ex. : Compute log (1+i)
Sol .:
Since 1+i =


Ex.: Compute 2i
2i =ei log 2 , but log 2 = ln 2 + 2k?i , k = 0 , ?1 , ? 2 ,…
? ei log 2 = ei (ln 2 + 2k?i)
= ei ln 2 - 2k? , k = 0 , ?1 , ? 2 ,…
بعض خواص اللوغاريتمات
A- e log z = z , z ? 0
B- log (z1.z2) = log z1 + log z2 , z1.z2 ? 0
C- log (z1/z2) = log z1 - log z2 , z2 ? 0
D-
F- log e z = z + 2k?i , k = 0 , ?1 , ? 2 ,…
G-


4- الدوال المثلثية Trigonometric Functions












وان كثيرا" من الخواص المألوفة في حالة الدوال المثلثية الحقيقية تتحقق أيضا" في حالة الدوال المثلثية المركبة.
a) sin2z + cos2 z = 1
b) 1+ tan2 z = sec2z
c) 1+ cot2z = csc2z
d) sin (-z) = - sin z
e) cos (-z) = cos z
f) tan (-z) = - tan z
g) sin (z1 ? z2) = sin z1 cos z2 ? sin z2 cos z1
h) cos (z1 ? z2) = cos z1cos z2 sin z1 sin z2
i) tan (z1 + z2) =

j) tan (z1 - z2) =
k) sin (z + 2?) = sin z , cos (z + 2?) = cos z