الدوال المركبة

الدوال المركبة ( Composite Functions )
لتكن f دالة معرفة على المنطقة D ، g دالة معرفة على المنطقة E نفرض لكل Z ?D ، وأن f (z) ?E أي أن جميع قيم f تقع في المنطقة E (منطلق g) عندئذ يمكن تعريف الدالة g ( f(z) ) على المنطقة D هذه الدالة g (f(z)) تسمى الدالة المركبة من g , f .
مثال
اذا كانf (z) = 3z + i ، g (z) = z2 + z + 1 – i جد

g (f(z)) & f (g(z))
الحل
f(g(z)) = 3 (g(z)) + i = 3 ( z2 + z + 1 – i ) + i
= 3z2 + 3z + 3 – 1i
g(f(z)) = f2 + f + 1 – i= (3z +i)2 + (3z +i) + 1 – i
= 9z2 + 3z (2i +1)
نلاحظ أن
g (f(z)) ? f (g(z))

تمارين متنوعة
1) إذا كان w = f (z) = z2 – 1 جد f (-2 + i )
2) عين منطلق الدوال التالية
أ ) f (z) = ب)

ج ) د) هـ)
3) أكتب الدالة التالية بالصيغة u ( x, y ) + i v ( x, y)
الدالة هي f (z) = z3 + z + 1
4) جد معكوس الدالة
5) جد الدالة المركبة g (f(z)) , f (g(z)) للدوال التالية
G (z) = 1 – z & f (z) = z – 1
الــدوال المـرّكبة (المعقدة ) الأساسيــة
توجد عدة أنواع من الدوال المركبة ومنها:
1- الدالة المتعددة الحدود وتعرف كآلاتي:-
w = f (z) = a0zn + a1zn-1 + a2zn-2 + … + an-1z + a n
حيث a0 ، a1، a2 ...، an ثوابت عددية مركبة وان 0 ? a0.
وكذلك n عدد صحيح موجب يسمى درجة متعددة الحدود f(z) ، وبشكل خاص يسمى التحويل f(z) = a z +b تحويل خطي
2- الدوال الجبرية النسبية
وتعرف على أنها من النوع w = f(z)


وبشكل خاص تسمى الدالة تحويل خطي ثنائي حيث أن (a d – b c) ? 0 لماذا؟

الجواب/
لأنه لو افترضنا أن (a d – b c) = 0 ? a d = b c

?
a = c h , b = d h ?
وبالتعويض في w نحصل



فان الدالة تتحول إلى دالة حقيقية ثابتة وليست معقدة.