الجذور

2( الجـذور Roots
ليكن z عددا" مركبا" معلوما" و n عدد صحيح موجب . الجذر ذات الرتبة n الى z او هو العدد المركب w الذي يحقق المعادلة
W n = z …(*)
اذا كان
z = r (cos ? + i sin ?)
w = ? (cos ? + i sin ?)
فعند التعويض في (*) نحصل على
?n (cos n? + i sin n?) = r (cos ? + i sin ?)
أي ان
?n = r ? ? =
أي الجذر الحقيقي الموجب للعدد الحقيقي r . كما ان
n ? = ? + 2 k? = arg z

فيكون
W = …(**)
نلاحظ ان (**) تعطينا قيما" مختلفة الى w عندما يكون k عددا" صحيحا" لا يقبل القسمة على n وبهذا نحصل على n من الجذور المختلفة الى z عندما نضع
فـــي (**) k = 0, ±1, ±2 , ±3,…
سنسمي العدد بالقيمة الرئيسية إلى

نعيد الآن كتابة (**) بالشكل التالي
w =
وبما أن arg 1 = 2 k?
لذا فان القوس الثاني في الطرف الأيمن يمثل الجذور ذات الرتبة n للواحد الصحيح وهذا يعني انه بمكاننا الحصول على جميع الجذور المختلفة إلى z وذلك بإيجاد قيمة الجذر الرئيسية ثم ضربها بالقيم المختلفة لجذور الواحد الصحيح أي حلول المعادلة wn = 1.
ملاحظة /
من الممكن استخدام صيغة اويلر للحصول على معادلة إيجاد جذور الأعداد المركبة وكما يلي
مثــال :أوجد الجذر التكعيبي للعدد (-1 + i) أو أوجد ناتج Z3 = -1+i
الحــل:
نكتب العدد المعقد (-1 + i) بصيغته القطبية فتكون قيمته المطلقة
وزاويته هي وان n = 3, k = 0,1,2 .

الان عندما k = 0



عندما يكون k =1


عندما يكون k = 2






تماريـــــن متنوعة
س1/ اكتب العددين الآتيين بصيغة اويلر
أ) i 2 + 2 ب) -5 + 5 i

س2/ جد قيمة واحدة لزاوية العدد المعقد Z عندما
أ- Z= ب- = Z

س3/ جد كل الجذور ( - i )1/3 ، ( i )2/3 ، -3/4(1-)
س4/ جد قيم كل الجذور أ) ب)
س5/اكتب كل مما يلي بالشكل الديكارتي
أ- ب-(-2 i)7 ج- (2+i)6
س6/ أ)إذا كان?1 z= r ei ? أوجد قيمة الجزء الخيالي ومعيار العدد بدلالة r , ? .
ب) إذا كان?1 z= r ei ? أوجد قيمة الجزء الحقيقي ومعيار العدد بدلالة r , ? .
7) Solve the following eq.
a/ Z4-4=0 , b/ Z4+1=0
8) Solve the following eq.
Z6 +2 Z3 + 2 = 0
Hint : let x = Z3
9) Denote the roots of the equation (Z+1)5 + Z5 = 0 by Z k , k=0,1,2,3,4.
Show that Re (Z k= - 1/2) .Hint : dividing both side of eq. by Z5
10) if Xn + i Yn = Prove that Xn-1 Yn + Xn Yn-1 = 22n-2
Hint: 1 + i = 2 (cos ?/3 + i sin ?/3)
11) prove that :
12) Prove that: cos2z + sin2z = 1