الفصل الرابع تصحيح الهندسة الاقليدية

من الفصل الرابع يبتدئ تقويم الهندسة الاقليدية وينتهي بالفصل السابع , حيث سنطرح نظام هلبرت للهندسة الاقليدية نسبة الى العالم الالماني دافيد هلبرت (1862- 1943 ) حيث قدم نظاما بدهيا متكاملا الذي استنتج منه الهندسة الاقليدية . لقد صحح الاخطاء والعيوب التي رافقت اعمال اقليدس .
يتالف النظام من مجموعتين من البديهيات.
اولا : بديهيات الوقوع والوجود
Ax1 :لكل نقطتين مختلفتين معلومتين , يوجد مستقيم واحد فقط يحتويهما.
Ax2 : كل مستقيم يحتوي على نقطتين في الاقل.
Ax3 : لكل مستقيم معلوم , توجد في الاقل نقطة واحدة لاتنتمي اليه .
Ax4 : يوجد في الاقل مستقيم واحد.
??تعريف?? : تكون المجموعتان متساويتين اذا وفقط اذا احتوتا بالضبط على نفس العناصر.


ثانيا : بديهيات الترتيب Axioms of order
ان بديهيات الوقوع والوجود ليست كافية لاشتقاق بعض المبرهنات المعروفة في الهندسة الاقليدية وليست كافية لوجود اكثر من نقطتين على خط ولا وجود عدد غير منته من النقاط على الخط, ولاتضمن وجود عدد غير منته من النقاط بين أي نقطتين , ولايمكن ان تكلم عن نقطة بين نقطتين , ولايمكن ان نتكلم عن قطعة مستقيم او المقارنة بين القطع فايهما الاكبر او الاصغر . كل هذا ياتي من العلاقة "بين " . فقد اهمل اقليدس هذه العلاقة في بديهياته ولكنه استنتجها من الرسم , وهذا لايعني اننا لانستخدم الرسم , غير ان لايكون جزءا من البرهان.
?ملاحظة :
"بين" هي كلمة اولية تقنية . الرمز A-B-C: يعني ان "B تقع بين Aو C ".