add and multiyple of natural number

الاعداد الطبيعية

المقدمة:
سنتناول في هذه المحاضرة عملية الجمع والضرب بالنسبة للاعداد الطبيعية بالاضافة الى بعض البديهيات والمبرهنات حيث يلاحظ أن الاعداد الطبيعية بترتيبها السابق تتضمن فكرة العدد الاساسي والعدد الترتيبي فمثلا المجموعة التي تضم تسعة عناصر يكون عددها الاساسي هو تسعة اما العدد الترتيبي فهو العدد الذي يحدد بالنسبة لغيره في سلسلة الاعداد الطبيعية فهو قد يكون الاول او الثاني او الثالث. أن الدقة الرياضية لتعريف الاعداد الطبيعية تدفعنا الى فرض بديهية المالانهاية والتي تنص على وجود مجموعة تابعية (successor set) أي المجموعة التي تحتوي على X?{X} , فتقاطع كل المجموعات التابعية هو مجموعة كل الاعداد الطبيعية التي سنرمز لها بالرمز N . ثم بعد ذلك سنبرهن على بديهيات بيانو الخمس كذلك كيفية اجراء عملية الجمع والضرب على الاعداد الطبيعية وثم بعد ذلك المجموعات القابلة للعد وصفات المجموعة القابلة للعد. اذا كانت A مجموعة فنعرف التابع للمجموعة A (Successor of A) كما يلي:A+=A?{A} حيث ان,التعاريف السابقة للاعداد 0,1,2,….. يمكن صياغتها بدقة اكثر باستخدام فكرة التابع . كل مجموعة تابعية تحتوي بالضرورة على 0,1,2,……..,n وعليه نقدم البديهية المهمة التالية:بديهية المالانهاية: (Axiom of infinity)توجد مجموعة تابعية بحيث أن ,تكون جملة كل المجموعات التابعية غير خالية, تقاطع ايه جملة غير خالية من المجموعات التابعية تكون ايضا مجموعة تابعية .وتقاطع كل المجموعات التابعية يسمى الاعداد الطبيعية ويرمز اليها بالرمز N وكل عنصر موجود في N يسمى عددا طبيعيا .