نظرية المعادلات التفاضلية-المحاضرة الثامنة عشر- نظرية الوجود والوحدانية الشاملة

10.2.1 نظرية الوجود والوحدانية الشاملة:
Global Existence and Uniqueness Theorem
مبرهنة 8.1 :
لتكن دالة مستمرة في وتحقق شرط ليبشتز في أية منطقة مغلقة مقيدة في تحوي النقطة عندئذ توجد فترة تحوي النقطة ودالة معرفة على تحقق :
1- الحل الوحيد للمسالة (B) على
2- الحل الأوسع
3- مخطط يقع في
4- فترة مفتوحة
5- مخطط يغادر أية منطقة مقيدة في .
البرهان:
لتكن اتحاد كل الحلول (على أساس إنها مجموعات) للمسالة (B) على فترات تحوي النقطة .من الواضح أن تحقق الشروط الثلاثة الأولى 1,2,3 .
لكن نبرهن 4 نفرض أن هي نقطة إحدى النهايتين للفترة وتنتمي إليها عندئذ تكون في وباستخدام المبرهنة 7.1 الجزء 2 نجد أن قابلة التوسيع على الفترة تحوي وهذا تناقض لخاصية الأوسع للحل إذا هي فترة مفتوحة . والآن نبرهن الفرع 5 : لتكن أية منطقة مغلقة مقيدة في ويمكننا أن افرض وبعكسه إذا كانت غير مقيدة فعندئذ مخطط يترك وهذا المطلوب.
افرض أن متتابعة من نقاط على مخطط بحيث أن عندما (أو عندما ) إذا كانت أو عندئذ يترك لذا فان تحوي متتابعة جزئية متقاربة ولتكن غاية هذه المتتابعة الجزئية وبذلك يمكن إيجاد متتابعة من النقاط على مخطط تقترب من النقطة تقع على محيط أو هي نقطة داخلية فيها.
في الحالة الأولى مخطط يترك المنطقة أما إذا كانت نقطة داخلية فبموجب المبرهنة 6.1 توجد فترة تحوي والمسالة (B) لها حل وحيد على بحيث إن وهذا يعني إن هي توسيع على الفترة أي أن تحوي نقاط لا تنتمي على وهذا تناقض لخاصية وعليه في الحالة أيضا مخطط يترك المنطقة .
مثال :
لتكن مع باستخدام طريقة بيكارد اوجد الحل لهذه الحل لهذه المسالة وادرس خواصه.
الحل :
لتكن متتابعة من دوال معرفة على الفترة وبالشكل التالي:

بوضع في (1) نجد ان

وبوضع تكون

وهكذا تكون

وبأخذ الغاية لطرفي (2) نحصل على

وألان نبين أن تحقق شروط المبرهنة 1.8 .
وبالمقارنة هذه المسالة مع المسالة (B) نجد أن

بما أن متعددة حدود لذا فان مستمرة على المستوي وبذلك تكون مستمرة في كل منطقة مغلقة مقيدة في هذا المستوي.
لتكن أية فترتين مغلقتين في المحورين على الترتيب وان هي منطقة مغلقة مقيدة اختيارية في المستوي . لكي نبرهن أن تحقق شرط ليبستز على نأخذ أية وبتعويض هاتين النقطتين في نحصل على

وهذه المتراجحة تبرهن أن تحقق شرط ليبشتز على .
ومما تقدم نستنتج تحقق جميع شروط المبرهنة 8.1 .
بما أن

فان هي الحل للمسالة هو حل وحيد أوسع لان منطلقها الفترة أيضا نلاحظ أن مخطط ويترك المنطقة وبذلك تحقق جميع شروط الحل الوارد في 1.8.