نظرية المعادلات التفاضلية-المحاضرة الخامسة عشر- مبرهنة الوجود والوحدانية الموقعية (طريقة مبرهنة النقطة الثابتة)

1-8 مبرهنة الوجود والوحدانية الموقعية (طريقة مبرهنة النقطة الثابتة)
Local Existence and Uniqueness Theorems (Fixed point Theorem Method)
لقد درسنا في الفقرات السابقة طريقتين لإيجاد الحلول لمسالة قيمة ابتدائية مع الشرط الابتدائي وبرهنا بعض مبرهنات الوجود والوحدانية لهذه المسالة في هذه الفقرة نتطرق إلى طريقة ثالثة معروفة بطريقة النقطة الثابتة . لبرهان مبرهنات الوجود والوحدانية باستخدام هذه الطريقة نحتاج إلى ذكر بعض التعاريف والمبرهنات التي تتعلق في الفضاء المتري دون إعطاء براهين لها لأنها موجودة في كتب التحليل الرياضي وفي بعض كتب التفاضل المتقدم.

تعرف 8.1 : الفضاء المتري Metric Space
هو مجموعة غير خالية M مع دالة المسافة d معرفة على (الحاصل الديكارتي) تحقق:
1-
2-
3-
4-
مثال 1 : لتكن
حيث إن فان هو فضاء متري.
مثال 2: لتكن مجموعة كل الدوال المستمرة على الفترة المغلقة وان دالة مسافة معرفة على بالشكل التالي :
عندئذ فضاء متري.(اثبت ذلك)
تعريف 9.1:
ليكن فضاء متري و متتابعة من النقاط في .إذا كان لأي عدد موجب يوجد عدد صحيح موجب يعتمد على بحيث أن فعندئذ يقال أن متقاربة في وإنها تقترب إلى وتكتب

تعريف 10.1: متتابعة كوشي Cauchy-Sequence
ليكن فضاء متري . يقال أن متتابعة كوشي في إذا كان لأي عدد موجب يوجد عدد صحيح موجب بحيث أن
.
تعريف 11.1 : يقال الفضاء المتري بأنه فضاء كامل إذا كان كل متتابعة كوشي فيه متقاربة إلى نقطة تنتمي إلى .

مأخوذة 9.1 :
الفضاء المتري المعرف في المثال (2) هل هو فضاء متري كامل؟