ضرب المتجهات

المقدمة :
ضرب المتجهات Product of Vectors
هناك نوعان من الضرب:
قياسي Scalar (dot) product واتجاهي vector (cross) product
النوع الأول: الضرب القياسي Scalar Product
يتضح من الاسم أن الناتج من هذه العملية عبارة عن عدد
لنفرض أن لدينا المتجهين التاليين
A=Axi + Ayj+ Azk
B=Bxi + Byj+ Bzk
فإن حاصل الضرب القياسي سيكون بضرب المركبات المتماثلة ومن ثم جمعها، كالتالي
A .B=AxBx+ AyBy+AzBz
وله تعريف آخر عندما يعرف مقدار المتجه A و B والزاوية بينهما Q حيث أن
A .B=AB cosQ

ملاحظات
1- عندما يكون المتجهان A , Bمتعامدين perpendicular (بمعنى ان الزاوية بينهما Q=90) فإن حاصل ضربهما القياسي يساوي صفر
2- الضرب القياسي عملية ابدالية A.B=B.A

النوع الثاني: الضرب المتجهي Vector Product
يتضح من الاسم أن الناتج من هذه العملية عبارة عن متجه
لنفرض أن لدينا المتجهين التاليين
A=Axi + Ayj+ Azk
B=Bxi + Byj+ Bzk


A×B= (AyBz-AzBy)i – (AxBz-AzBx)j + (AxBy-AyBx)k

كيف تتم هذه العملية؟!
أولاً: نغطي على العمود الأول ونضرب (طريقة المقص: الطرفين ناقص الوسطين) وبعدها نروح للحد الثاني حيث نغطي على العمود الثاني ونكمل بنفس الطريقة
وله تعريف آخر عندما يعرف مقدار المتجه A و B والزاوية بينهما Q حيث أن
|A×B| =AB sinQ
ملاحظات
1- عندما يكون المتجهان A , B متوازيين parallel (بمعنى ان الزاوية بينهما Q=0) فإن حاصل ضربهما الاتجاهي يساوي صفر
2- الضرب الاتجاهي ليس عملية ابدالية A×B= - B×A
3- المتجه الناتج عن الضرب الاتجاهي سيكون عموديا على كلي المتجهين، على سبيل المثال A×B سيكون عمودياً على كل من A و B

هناك عدة طرق للتعبير عن المتجهات، ولعل أشهر الطرق وأيسرها استخدام متجهات الوحدة unit vectors وهي للدلالة على المحاور الكارتيزية Cartesian coordinates
هذه المتجهات هي i للدلالة على الاتجاه السيني ، j للدلالة على الاتجاه الصادي، k للدلالة على الاتجاه العيني. وسميت بمتجهات الوحدة لأن قيمة أو مقدار كل واحد منها يساوي الواحد
ملحوظة: يرمز للمتجه بحرف يعلوه سهم أو بخط أسود عريض A وتسمى هذه الدلالة vector notation
وبالتالي نستطيع أن نعبر عن المتجه كما يلي
A=Axi + Ayj+ Azk
حيث ان Ax تمثل قيمة المتجه في المحور السيني (مركبته السينية)، Ay تمثل قيمة المتجه في المحور الصادي (مركبته الصادية)، Az تمثل قيمة المتجه في المحور العيني (مركبته العينية)
ولحساب قيمة هذا المتجه، نستخدم العلاقة
A={(Ax)^2+ (Ay)^2+ (Az)^2}^0.5
ملاحظة: عندما يكون المتجه في مستوى، فإن للمتجه مركبتين فقط. فلو قلنا ان المتجه في المستوى xy فهذا يعني ان المركبة العينية تساوي صفر
متجه الوحدة Unit vector
لمتجه A فإن متجه الوحدة U يعرف بأنه المتجه مقسوم على مقداره، أي كالتالي
U= A/|A|
وبالتالي فإن U قيمته الوحدة واتجاهه نفس اتجاه U




العمليات الحسابية للمتجهات
أولاً: جمع وطرح المتجهات Addition and Subtraction of Vectors
لنفرض أن لدينا المتجهين التاليين
A=Axi + Ayj+ Azk
B=Bxi + Byj+ Bzk
فإن حاصل جمع (أو طرح) المتجهين ماهو إلا جمع (أو طرح) المركبات المتماثلة، بمعنى أن
A+B=(Ax+Bx)i+ (Ay+By)j+(Az+Bz)k
A-B=(Ax-Bx)i+ (Ay-By)j+(Az-Bz)k
الناتج من عملية الجمع أو الطرح سيكون بكل تأكيد متجه