المجال الكهربائي الناشىء عن توزيع متصل

كثيراً ما تكون المسافات بين الشحنات في مجموعة الشحنات الموزعة على سطح جسم موصل اصغر بكثير من المسافة بين هذه الشحنات وبعض النقاط المطلوب إيجاد شدة المجال الكهربائي عندها. في مثل هذه الحالة يكون نظام الشحنات مستمراً (متصلاً). ولغرض حساب شدة المجال الكهربائي الناشئ عن شحنة موزعة بشكل متصل تُتَبعْ الإجراءات الآتية :
1- تقسَّم الشحنة إلى عدد كبير من العناصر الصغيرة، كل منها يحوي مقدار من الشحنة كما مبين في الشكل (2-17).
2- تحسب شدة المجال الكهربائي الناشئ عن احد عناصر الشحنة في النقطة p وفق المعادلة:
….…..(9-2)
حيث r تمثل المسافة من عنصر الشحنة إلى النقطة p و تمثل وحدة الشحنة بالاتجاه من عنصر الشحنة إلى النقطة p.
3- تحسب شدة المجال الكهربائي الكلية عند p الناشئ عن جميع عناصر الشحنة ذات التوزيع المستمر وذلك بجمع إسهامات كل العناصر على الموصل حيث:
…….…(10-2)
المعامل i يشير إلى عناصر الشحنة في التوزيع. فإذا كانت هذه العناصر متناهية الصغر بحيث عندئذ يتحول الجمع إلى تكامل وعليه:
….…...(11-2)







وقبل أن نورد بعض الأمثلة التطبيقية على كيفية حساب هذا النوع من التكامل على حالات تكون فيها الشحنة موزعة على طول خط مستقيم أو على سطح أوعلى حجم، يكون من الملائم أن تعّرف كثافة الشحنة الموزعة وفق الحالات الآتية :
1- إذا كانت الشحنة q موزعة بشكل منتظم على طول خط مستقيم L، فان كثافة الشحنة الخطية تعرف كالآتي :

حيث لها وحدات الكولوم على وحدة الطول، أي
2- إذا كانت الشحنة q موزعة بشكل منتظم على سطح مساحته A، فان كثافة الشحنة السطحية تعرف كالآتي :

حيث لها وحدات الكولوم على وحدة المساحة ،أي
3- إذا كانت الشحنة q مثلاً موزعة بشكل منتظم خلال حجم V فان كثافة الشحنة الحجمية تعرف كالآتي:

حيث لها وحدات الكولوم على وحدة الحجم، أي


يبين الشكل (2-18) سلك عازل طوله L يحمل شحنة موجبة مقدارها q موزعة بصورة متجانسة على طول محور x بكثافة خطية قدرها . احسب شدة المجال الكهربائي في نقطة مثل p تقع على العمود المنصف لهذا السلك وتبعد عنه مسافة قدرها a.














الحل:
نفرض أن الشحنة q مقسمة إلى عناصر صغيرة طول كل منها dx، وان dq هي مقدار شحنة العنصر. وبما إن السلك يحمل شحنة ذات كثافة خطية فان مقدار dq على كل عنصر هي .إن شدة المجال dE الناشئ عن عنصر الطول dx عند النقطة p هو باتجاه محور y الموجب وذلك لان لكل عنصر شحنة في جهة اليسار هناك عنصرٌ يقابله في جهة اليمين وهذا ما يؤدي إلى تعادل مركبتي مجاليهما dEx في اتجاه المحورx. في حين نرى مركبتيهما dEy في اتجاه محور y الموجب دائماً. وكما يتضح ذلك من الشكل فان مقدار المركبة dEy للعنصر هو:


فان شدة المجال في النقطة p تكون :

……… (12-2)
يلاحظ من هذه المعادلة أن المتغيرات هي و و ولأجل حلها يجب الإبقاء على متغير واحد وليكن . من الشكل (2-18) نجد أن :


وبالتعويض عن قيمة و في المعادلة (2-12) نحصل على:

الآن يصبح بالإمكان إيجاد محصلة شدة المجال الكهربائي E في النقطة p بإجراء، عملية التكامل مع ملاحظة حدود التكامل كما يوضحها الشكل (2-18).