دالة ماكسويل

-دالة التوزيع لماكسويل-بولتزمان
لغرض اشتقاق دالة التوزيع لماكسويل –بولتزمان نفترض هناك بعض القيم المعينة لأرقام الاشغال للوزن w) ( للترتيب الدقيق وهذا الترتيب مع اعظم وزن يعطي احتمالية التوزيع للمجموعة .
1- نجد رقم الاشغال الضروري لأعظم وزن من خلال الشرط
w=w_max
الدالة تكون اعظم ما يمكن ميلها يساوي صفر dw=?_s??dw/?dn?_s dn_s=0?
لنظام يتكون من N من الجسيمات فان الطاقة الكلية له تساوي
E=???E_s ?dn?_S ?, dE=0
????dn?_s=dN=0?
w=Ni?_1^s??((g_s^(n_s ))/(n_s !)?)
عند اخذ log?W فالضرب يتحول الى جمع فتبح المعادلة أعلاه بالشكل التالي

log?W=log?N!+?_s?log??(g_s^(n_s ))/(n_s !)? (9)
نلاحظ العلاقات السابقة كلها تساوي صفر لذلك يمكن توحيدها بعلاقة واحدة باستعمال طريقة مضروبات لانكراج. ( 1,?,?)
أي نضرب d log?w بالعامل (1)
نضرب dN بالعامل (?)
نضرب dE بالعامل (?)
1 log?W+?dN+?dE=0 (10)

log?W=log?N!+?_s??n_s log??g_s-?_s?n_s !? ? (11)
عند التعامل مع log?N! فالافضل نستخدم تقريب ستيرلنك الذي يصلح للارقام الكبيره حتى تكون نسبة الخطأ قليلة جدا اي للأرقام الصغيرة فيساوي صفر
log?N!=N log?N-N (12)
log?100!=100 log?100-100?100
log?10!=10 log?10-10=0
?_s??(d log?w)/?dn?_s dn_s+??_s???dn?_S+??_S???_s ?dn?_s ??=0?

{???(d log?w)/?dn?_s +?+??}dn_s=0 (13)

???(d log?w)/?dn?_s +?+??=0