نظرية المعادلات التفاضلية-المحاضرة السادسة عشر- دالة انكماش

تعريف 12.1 دالة انكماش Contraction Mapping
ليكن فضاء متريا
دالة يقال لها دالة انكماش إذا أمكن إيجاد عدد بحيث أن

مثال : ليكن بحيث أن عددان حقيقيان لآية نقطتين تكون
لذا فان دالة انكماش عندما .

ماخوذه 10.1 :
إذا كان فضاء متريا كاملا و دالة انكماش فان لها نقطة وحيدة , أي أن .



مبرهنة 5.1 : مبرهنة الوجود والوحدانية الموقعية( طريقة النقطة الثابتة)
منطوق هذه المبرهنة هو منطوق المبرهنة 3.1 نفسه مع شرط اختبار بحيث أن وبذلك يصبح منطوقها كالأتي:
لتكن دالة مستمرة على وتحقق شرط ليبشتز وبثابت قيد لها إذا كان هو اصغر العددين عندئذ توجد دالة معرفة على الفترة تكون حلا وحيدا للمسالة (B ) على .
البرهان:
لتكن مجموعة الدوال المعرفة بالشكل التالي:
واضح أن مجموعة جزئية مغلقة(برهن ذلك) في بموجب الماخوذه 11.1 يكون فضاء متري كامل(برهن). لأية دالة نعرف

ونبرهن أي أن
لبرهان انظر برهان المبرهنة 4.1 الجزء (2) ومن المعادلة (1) نجد أن

لذا فان وعليه
والآن نبرهن هي دالة انكماش على .
افرض أن أيضا من (1) نجد أن

وبتطبيق شرط ليبشتز في الطرف الأيمن من (2) تكون

ومنها نجد أن

وهذه تبرهن دالة انكماش على وبموجب مبرهنة النقطة الثابتة تكون

وبذلك تكون حلا وحيدا للمسالة (B) على الفترة .