نظرية المعادلات التفاضلية-المحاضرة الثالثة عشر- اختبار ويريستراس

برهان (iii)
لكي نبرهن تقترب بانتظام إلى الدالة على نحتاج أولا أن نبرهن المتراجحة التالية بالاستنتاج الرياضي :

من المتراجحة (2) نلاحظ أن (4) صحيحة عندما .
افرض أن (4) صحيحة لآي عدد صحيح موجب .
أيضا من (1) وعندما نرى أن

وبتطبيق شرط ليبشتز في الطرف الايمن من (5) تكون

ومنها نستنتج أن (4) صحيحة عندما .
بما أن فان

ولكن المتسلسلة متقاربة (اختبار النسبة) وهكذا اختبار فريستراس في (6) تكون المتسلسلة متقاربة بانتظام على والتي تؤدي ان المتسلسلة متقاربة بانتظام على . ولكن لكل

اذا

تكون موجودة وهذا يعني بان المتتابعة تقترب بانتظام على الى دالة ولتكن .

البرهان(iv)
لقد برهنا في (i) بان أي أن

لذا فان

وهذا يبرهن أن وبموجب الماخوذه 4.1 تكون مستمرة على .
لبرهان (v) راجع أثبات المعادلة (8.1) في برهان المبرهنة 2.1 .
ولبرهان (vi) راجع برهان المبرهنة 3.1 .