نظرية المعادلات التفاضلية-المحاضرة العاشرة- دوال ليبشتز

(1-6) دوال ليبشتز Lipschitz Functions
مبرهنة كوشي –بيانو تضمن لنا وجود حل للمسالة (B) على الفترة ولكنها لا تضمن وحدانية الحل وهي مهمة في المسائل التطبيقية لان وجود أكثر من حل واحد لا يفيد في الجوانب التطبيقية لهذا السبب يفرض شرط على الدالة يسمى بشرط ليبشتز الذي يضمن لنا وحدانية الحل للمسالة (B) الدوال التي تحقق هذا الشرط تسمى بدوال ليبشتز وسوف نعرف هذا الشرط ونعطي بعض الأمثلة لهذه الدوال.
تعريف 7.1 (شرط ليبشتز):
لتكن أية منطقة في المستوي و إذا كان عدد غير سالب بحيث أن:

عندئذ يقال تحقق شرط ليبشتز على ويسمى ثابت ليبشتز.
مثال (1):ليكن

و معرفة كالآتي :
فان تحقق شرط ليبشتز على وان
الحل:
لتكن أية نقطتين في .من تعريف نحصل على

مثال 2 :
افرض أن وان . عندئذ لا تحقق شرط ليبشتز على .
الحل :لأية نقطتين يمكننا أن نحسب :

بما أن يؤدي إلى يقترب إلى لذلك لا يمكن إيجاد عدد غير سالب يحقق العلاقة وهذا يعني أن لا تحقق شرط ليبشتز على .
مأخوذة 6.1 :
إذا كانت الدالة ومشتقاتها الجزئية مستمرتين على أية منطقة في المستوي فأن تحقق شرط ليبشتز على .
البرهان:
بما أن مستمرتين على فانه باستخدام مبرهنة القيمة الوسطى تكون:

حيث أن وبموجب المأخوذة 1.1 تكون مقيدة أي انه يوجد عدد غير سالب بحيث أن وهذه تؤدي إلى أن

لذا فأن
ومنها نستنتج أن تحقق شرط ليبشتز على .
مثال:
إذا كانت ولكل

فأثبت أن تحقق شرط ليبشتز على باستخدام المأخوذة 6.1 اوجد قيمة ثابت ليبشتز .
الحل:
من تعريف نجد أن

من خواص يمكننا أن نبرهن بسهولة أن هاتين الدالتين مستمرتين على لذلك بموجب المأخوذة 6.1 نرى أن تحقق شرط ليبشتز على .
لإيجاد ثابت ليبشتز نفرض أن أية نقطتين في وبتعويض هاتين النقطتين في المعادلة أعلاه وباستخدام مبرهنة القيمة الوسطى نحصل على:

لذا فأن
مثال:لتكن

اثبت أن لا تحقق شرط ليبشتز في أية منطقة في المستوي تحوي نقاط المحور ثم برهن أن هما حلين للمسالة:
مع الشرط الابتدائي .(واجب)